Coliziune elastică

Newtonian unidimensional

Se consideră două particule, indicate prin indicele 1 și 2. Fie m₁ și m₂ m masele, u₁ și u₂ vitezele înainte de ciocnire și v₁ și v₂ vitezele după ciocnire.

Utilizarea conservării momentului pentru a scrie o formulă

Deoarece este o coliziune elastică, momentul total înainte de coliziune este același cu momentul total după coliziune. Având în vedere că impulsul (p) se calculează astfel

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Putem calcula că impulsul înainte de coliziune este:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

iar momentul după coliziune să fie:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Dacă le punem egale, obținem prima ecuație:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Utilizarea conservării energiei pentru a scrie o a doua formulă

A doua regulă pe care o folosim este că energia cinetică totală rămâne aceeași, ceea ce înseamnă că energia cinetică inițială este egală cu energia cinetică finală.

Formula pentru energia cinetică este:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}}{2}}}}

Deci, folosind aceleași variabile ca și înainte: Energia cinetică inițială este:

m 1 u 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}{2}}}}

Energia cinetică finală este:

m 1 v 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}. }

Stabilind că cele două sunt egale (deoarece energia cinetică totală rămâne aceeași):

m 1 u 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Punând aceste două ecuații împreună

Aceste ecuații pot fi rezolvate direct pentru a găsi v_i atunci când se cunoaște u_i sau viceversa. Iată un exemplu de problemă, care poate fi rezolvată folosind fie conservarea momentului, fie conservarea energiei:

De exemplu:

Bila 1: masă = 3 kg, v = 4 m/s

Bila 2: masa = 5 kg, v = -6 m/s

După coliziune:

Bila 1: v = -8,5 m/s

Mingea 2: v = necunoscută ( o vom reprezenta cu v )

Utilizarea conservării momentului:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

După înmulțire și apoi scăzând 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} din ambele părți, obținem:

  12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

Însumând partea stângă, apoi împărțind cu 5 {\displaystyle 5} ne dă:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}}=v} , și făcând ultima împărțire obținem:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}.

Am fi putut, de asemenea, să rezolvăm această problemă folosind conservarea energiei:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}{2}}{2}}

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}}

Înmulțind ambele părți cu 2 {\displaystyle 2} , și apoi efectuând toate înmulțirile necesare, obținem:

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

Adăugând numerele din stânga, scăzând 216.75 {\displaystyle 216.75} din ambele părți și împărțind la 5 {\displaystyle 5} , obținem:

  2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Dacă luăm rădăcina pătrată a ambelor părți, obținem un răspuns de v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. .

Din nefericire, va trebui să folosim conservarea impulsului pentru a afla dacă v {\displaystyle v} este pozitiv sau negativ.