Theorema egregium
Teorema Egregium a lui Gauss (în latină "Teorema remarcabilă") este un rezultat major al geometriei diferențiale demonstrat de Carl Friedrich Gauss. Teorema se referă la curbura suprafețelor. Teorema afirmă că curbura poate fi determinată doar prin măsurarea unghiurilor, a distanțelor și a ratelor acestora pe o suprafață. Nu este nevoie să se vorbească despre modul particular în care suprafața este încorporată în spațiul euclidian tridimensional înconjurător. Cu alte cuvinte, curbura gaussiană a unei suprafețe nu se schimbă dacă se îndoaie suprafața fără a o întinde.
Gauss a prezentat teorema în felul următor (tradusă din latină):
Din acest motiv, formula din articolul precedent conduce de la sine la remarcabila Teoremă. Dacă o suprafață curbă este dezvoltată pe orice altă suprafață, indiferent care ar fi aceasta, măsura curburii în fiecare punct rămâne neschimbată.
Teorema este "remarcabilă" deoarece definiția inițială a curburii gaussiene utilizează direct poziția suprafeței în spațiu. Astfel, este destul de surprinzător faptul că rezultatul nu depinde de încorporarea acesteia, în ciuda tuturor deformațiilor de îndoire și răsucire suferite.
O consecință a Theorema Egregium este faptul că Pământul nu poate fi afișat pe o hartă fără distorsiuni. Proiecția Mercator, prezentată aici, păstrează unghiurile, dar modifică suprafața. De exemplu, Antarctica este prezentată mult mai mare decât este în realitate.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este Theorema Egregium a lui Gauss?
R: Teorema Egregium a lui Gauss este un rezultat major al geometriei diferențiale care se referă la curbura suprafețelor, demonstrat de Carl Friedrich Gauss.
Î: Cum poate fi determinată curbura, conform Teoremei Egregium a lui Gauss?
R: Conform Teoremei Egregium a lui Gauss, curbura poate fi determinată doar prin măsurarea unghiurilor, a distanțelor și a ratelor acestora pe o suprafață.
Î: Este necesar să se vorbească despre modul particular în care suprafața este încorporată în spațiul euclidian tridimensional înconjurător pentru a determina curbura?
R: Nu, nu este necesar să se vorbească despre modul particular în care suprafața este încorporată în spațiul euclidian tridimensional înconjurător pentru a determina curbura conform Theorema Egregium a lui Gauss.
Î: Se modifică curbura gaussiană a unei suprafețe dacă se îndoaie suprafața fără a o întinde?
R: Nu, curbura gaussiană a unei suprafețe nu se modifică dacă suprafața este curbată fără a fi întinsă, în conformitate cu Theorema Egregium a lui Gauss.
Î: Cine a prezentat teorema în acest mod?
R: Gauss a prezentat teorema în acest mod.
Î: Pentru ce este remarcabilă teorema?
R: Teorema este "remarcabilă" pentru că definiția de pornire a curburii gaussiene utilizează direct poziția suprafeței în spațiu. Prin urmare, este destul de surprinzător faptul că rezultatul nu depinde de încorporarea acesteia, în ciuda tuturor deformațiilor de încovoiere și răsucire suferite.
Î: În ce mod a prezentat Gauss teorema?
R: Gauss a prezentat teorema în așa fel încât, dacă o suprafață curbă este dezvoltată pe orice altă suprafață, măsura curburii în fiecare punct rămâne neschimbată.
