Spațiu topologic
Un spațiu topologic este un spațiu studiat în topologie, matematica structurii formelor. În linii mari, este un set de lucruri (numite puncte) împreună cu o modalitate de a ști ce lucruri sunt apropiate.
Mai precis, un spațiu topologic are un anumit tip de seturi, numite seturi deschise. Seturile deschise sunt importante deoarece permit să vorbim despre punctele din apropierea unui alt punct, numite vecinătăți ale punctului. O vecinătate a unui punct este pur și simplu un ansamblu deschis care conține acel punct. Dacă nu am avea conceptul de seturi deschise, nu am putea defini în mod corect vecinătățile. Dacă se încearcă să se definească vecinătatea unui punct ca fiind orice ansamblu care conține acel punct, s-ar putea ca acesta să includă doar acel punct și numai acel punct, nu orice punct din apropierea lui sau puncte îndepărtate. Avem, de asemenea, conceptul de seturi închise, care sunt completări ale seturilor deschise. Altfel spus, toate punctele care nu aparțin unui anumit ansamblu deschis formează un ansamblu închis.
Seturile deschise trebuie să urmeze anumite reguli pentru a corespunde ideilor noastre de apropiere. Unirea unui număr oarecare de seturi deschise trebuie să fie deschisă, iar unirea unui număr finit de seturi închise trebuie să fie închisă. (Cea de-a doua regulă funcționează numai pentru un număr finit de seturi închise. Acest lucru se datorează faptului că, în multe cazuri, un ansamblu care conține un singur punct este închis. Orice ansamblu este format din puncte. Dacă cea de-a doua regulă s-ar aplica unui număr infinit de seturi închise, atunci orice set ar fi închis). Ca un caz special, ansamblul care conține fiecare punct este atât deschis, cât și închis. Setul care nu conține niciun punct este, de asemenea, atât deschis, cât și închis.
Un set de puncte poate avea mai multe definiții diferite a ceea ce este un set deschis. Se poate considera că doar anumite seturi sunt deschise sau că mai multe seturi sunt deschise. Se poate considera chiar că fiecare ansamblu este deschis. Același set cu diferite definiții ale seturilor deschise formează spații topologice diferite.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este un spațiu topologic?
R: Un spațiu topologic este un set de puncte împreună cu o modalitate de a ști ce lucruri sunt apropiate. Este studiat în matematica structurii formelor.
Î: Ce sunt seturile deschise?
R: Seturile deschise sunt importante deoarece permit să vorbim despre punctele din apropierea unui alt punct, numite vecinătăți ale punctului. Ele sunt definite ca fiind anumite tipuri de seturi care pot fi utilizate pentru a defini în mod corespunzător vecinătățile.
Î: Ce trebuie să urmeze seturile deschise?
R: Seturile deschise trebuie să respecte anumite reguli, astfel încât să corespundă ideilor noastre de vecinătate. Uniunea unui număr oarecare de seturi deschise trebuie să fie deschisă, iar uniunea unui număr finit de seturi închise trebuie să fie închisă.
Î: Care este cazul special pentru seturile deschise și închise?
R: Cazul special atât pentru seturile deschise, cât și pentru cele închise este că setul care conține fiecare punct este atât deschis, cât și închis, precum și că setul care nu conține niciun punct este atât deschis, cât și închis.
Î: Cum afectează diferitele definiții spațiile topologice?
R: Diferitele definiții pentru ceea ce înseamnă un set deschis pot afecta spațiile topologice prin considerarea doar a anumitor seturi ca fiind deschise sau mai mult decât de obicei, sau chiar prin considerarea fiecărui set ca fiind deschis.
Î: Poate un număr infinit de seturi închise să formeze orice set?
R: Nu, dacă ar fi permis un număr infinit de seturi închise, atunci orice set ar fi considerat închis, deoarece orice set este format numai din puncte.
