Teoria seturilor Zermelo-Fraenkel

O axiomă este o afirmație care este acceptată fără îndoială și care nu are nicio dovadă. ZF conține opt axiome.

1. Axioma de extensie spune că două seturi sunt egale dacă și numai dacă au aceleași elemente. De exemplu, setul { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}} și ansamblul { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}} sunt egale.
2. Axioma fundației spune că orice set S {\displaystyle S} (altul decât setul gol) conține un element care este disjunct (nu are membri comuni) cu S {\displaystyle S}. .
3. Axioma de specificare spune că, dat fiind un set S {\displaystyle S} și un predicat F {\displaystyle F} (o funcție care este fie adevărată, fie falsă), că există un set care conține exact acele elemente din S {\displaystyle S} în care F {\displaystyle F} este adevărată. De exemplu, dacă S = { 1 , 2 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} , iar F {\displaystyle F} este "acesta este un număr par", atunci axioma spune că setul { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}} există.
4. Axioma de împerechere spune că, date fiind două seturi, există un set ai cărui membri sunt exact cele două seturi date. Așadar, date fiind cele două seturi { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}} și { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}}. , această axiomă spune că setul { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}}}} există.
5. Axioma uniunii spune că pentru orice ansamblu există un ansamblu care este format doar din elementele elementelor acelui ansamblu. De exemplu, dat fiind setul { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} , această axiomă spune că setul { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}} există.
6. Axioma de înlocuire spune că pentru orice set S {\displaystyle S} și o funcție F {\displaystyle F} există un set format din rezultatele apelării F {\displaystyle F} asupra tuturor membrilor lui S {\displaystyle S} . De exemplu, dacă S = { 1 , 2 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} și F {\displaystyle F} este "adaugă zece la acest număr", atunci axioma spune că setul { 11 , 12 , 13 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,13,15,16\}} există.
7. Axioma infinitului spune că setul tuturor numerelor întregi (așa cum este definit prin construcția Von Neumann) există. Acesta este setul { 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
8. Axioma setului de putere spune că setul de putere (setul tuturor subansamblurilor) al oricărui set există. De exemplu, setul de putere al lui { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} este { { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

Axioma alegerii spune că este posibil să se ia un obiect din fiecare dintre elementele unui ansamblu și să se creeze un nou ansamblu. De exemplu, dat fiind setul { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} , axioma alegerii ar arăta că un set precum { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,5\}} există. Această axiomă poate fi demonstrată din celelalte axiome pentru seturi finite, dar nu și pentru seturi infinite.