Funcție

În matematică, o funcție este un obiect matematic care produce o ieșire, atunci când i se dă o intrare (care poate fi un număr, un vector sau orice altceva care poate exista în interiorul unui set de lucruri).

Așadar, o funcție este ca o mașină, care ia o valoare x și returnează o ieșire y. Setul tuturor valorilor pe care le poate avea x se numește domeniu, iar setul care conține toate valorile pe care le poate avea y se numește codominiu. O funcție este adesea notată cu litere italice, cum ar fi f , g, {\displaystyle h} .

Dacă se întâmplă acest lucru, atunci spunem că y este o funcție de x și scriem {\displaystyle y=f(x)} . Aici, f este numele funcției și se scrie (funcție de la X la Y) pentru a reprezenta cele trei părți ale funcției: domeniul (X), co-domeniul (Y) și procesul de împerechere (săgeata).

Un exemplu de funcție este {\displaystyle f(x)=x+1} . Se dă un număr natural x ca intrare și se obține un număr natural y, care este {\displaystyle x+1} . De exemplu, dacă se dă 3 ca intrare pentru f se obține 4.

O funcție nu trebuie să fie neapărat o ecuație. Ideea principală este că intrările și ieșirile sunt împerecheate cumva - chiar dacă procesul poate fi foarte complicat.




 

Metafore

Tabele

Intrările și ieșirile pot fi introduse într-un tabel ca în imagine; acest lucru este ușor dacă nu există prea multe date.

Grafice

În imagine, se poate observa că atât 2, cât și 3 au fost asociate cu c; acest lucru nu este permis în cealaltă direcție, deoarece 2 nu poate ieși în același timp cu c și d (fiecare intrare poate avea doar o singură ieșire). Toate f(x) (c și d în imagine) se numesc, de obicei, setul de imagini al lui f , iar setul de imagini poate fi întregul codomeniu sau unul dintre subseturile sale. Se poate spune că setul imagine al unui subset A al domeniului este f(A). În cazul în care intrările și ieșirile au o ordine, atunci este ușor să le trasăm pe un grafic:

În acest fel, imaginea vine pe imaginea setului A.
 

Istoric

În anii 1690, Gottfried Leibniz și Johann Bernoulli au folosit cuvântul "funcție" cu litere între ei, astfel încât conceptul modern a început în același timp cu calculul.

În 1748, Leonhard Euler a dat următoarea definiție pentru funcție:

"O funcție a unei mărimi variabile este o expresie analitică compusă în orice mod din mărimea variabilă și din numere sau mărimi constante."

și apoi în 1755:

"Dacă unele mărimi depind de alte mărimi în așa fel încât, dacă acestea din urmă sunt modificate, primele suferă modificări, atunci primele mărimi se numesc funcții ale celor din urmă. Această definiție se aplică destul de larg și include toate modurile în care o cantitate poate fi determinată de alta. Prin urmare, dacă x reprezintă o mărime variabilă, atunci toate mărimile care depind în vreun fel de x sau care sunt determinate de aceasta se numesc funcții ale lui x."

De obicei, lui Peter Dirichlet i se atribuie prima definiție modernă a funcției (formulată în 1837). Aceasta este adesea utilizată în școli până în a doua jumătate a secolului XX:

"y este o funcție a unei variabile x, definită pe intervalul a < x < b, dacă fiecărei valori a variabilei x din acest interval îi corespunde o valoare determinată a variabilei y. De asemenea, este irelevant în ce mod se stabilește această corespondență."

În 1939, Bourbaki a generalizat definiția lui Dirichlet și a oferit o versiune teoretică a definiției ca o corespondență între intrări și ieșiri; aceasta a fost folosită în școli începând cu 1960.

În cele din urmă, în 1970, Bourbaki a dat definiția modernă ca o triplă f=(X,Y,F) , cu X × Y , ( x , f ( x ) ) F {\displaystyle F\subansamblu X\ ori Y,(x,f(x))\în F}F\subset X\times Y,(x,f(x))\in F (adică și x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{{(x,f(x))\mid x\în X,f(x)\în Y\}}} {\displaystyle F=\{(x,f(x))\mid x\in X,f(x)\in Y\}}). X se numește domeniul lui f, Y codominiul său, iar F graficul său. Ansamblul tuturor elementelor de forma f(x), unde x se întinde peste elementele domeniului X, se numește imaginea lui f. Imaginea unei funcții este un subset al codominiului său și poate să nu coincidă cu acesta.


 

Tipuri de funcții

  • Funcții elementare - Funcțiile care sunt studiate de obicei la școală: fracții, rădăcini pătrate, funcțiile sinus, cosinus și tangentă și alte câteva funcții.
  • Funcții neelementare - Cele mai multe dintre ele utilizează operații pe care nu le învățăm la școală (cum ar fi + sau -, sau puteri). Multe integrale, de exemplu, sunt neelementare.
  • Funcții inverse - Funcții care anulează o altă funcție. De exemplu: dacă F(x) este inversa lui f(x)=y, atunci F(y)=x. Nu toate funcțiile au inverse.
  • Funcții speciale: Funcții care au nume. Printre acestea se numără funcțiile trigonometrice, cum ar fi sinus, cosinus și tangentă. Funcții precum f(x)=3x (de trei ori x) nu se numesc funcții speciale. Funcțiile speciale pot fi elementare, neelementare sau inverse.

 

Pagini conexe

 

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o funcție în matematică?


R: O funcție în matematică este un obiect care produce o ieșire atunci când primește o intrare, care poate fi un număr, un vector sau orice poate exista în interiorul unui set de lucruri.

Î: Care sunt cele două seturi asociate cu funcțiile?


R: Ansamblul tuturor valorilor pe care le poate avea x se numește domeniu, iar ansamblul care conține toate valorile pe care le poate avea y se numește codominiu.

Î: Cum sunt adesea notate funcțiile?


R: Funcțiile sunt adesea notate cu litere italice, cum ar fi f, g, h.

Î: Cum se reprezintă o funcție?


R: Reprezentăm o funcție prin scrierea y = f(x), unde f este numele funcției și se scrie f : X → Y (funcție de la X la Y) pentru a reprezenta cele trei părți ale funcției - domeniul (X), codominiul (Y) și procesul de împerechere (săgeata).

Î: Puteți da un exemplu de funcție?


R: Un exemplu de funcție este f(x) = x + 1. Se introduce un număr natural x și se obține un număr natural y care este x + 1. De exemplu, dacă se dă 3 ca intrare pentru f, se obține 4 ca rezultat.

Î: Fiecare funcție trebuie să fie o ecuație?



R: Nu, nu orice funcție trebuie să fie o ecuație. Ideea principală din spatele funcțiilor este că intrările și ieșirile sunt împerecheate cumva - chiar dacă ar putea fi foarte complicat.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3