Putere (matematică) | o operație aritmetică asupra numerelor

În matematică, exponențierea (puterea) este o operație aritmetică asupra numerelor. Ea poate fi considerată o înmulțire repetată, la fel cum înmulțirea poate fi considerată o adunare repetată.

În general, date două numere x și y, exponențierea lui x și y poate fi scrisă ca {\displaystyle x^{y}}și se poate citi ca "x ridicat la puterea lui y", sau " x la puterea y th ". În trecut au fost utilizate și alte metode de notare matematică. Atunci când indicele superior nu poate fi scris, oamenii pot scrie puterile folosind semnele ^ sau **, astfel încât 2^4 sau 2**4 înseamnă {\displaystyle 2^{4}}.

Aici, numărul x se numește bază, iar numărul y se numește exponent. De exemplu, în {\displaystyle 2^{4}}2 este baza, iar 4 este exponentul.

Pentru a calcula {\displaystyle 2^{4}}, este suficient să înmulțim 4 copii ale lui 2. Deci 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} , iar rezultatul este 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}. {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}. Ecuația ar putea fi citită cu voce tare sub forma "2 ridicat la puterea 4 este egal cu 16".

Alte exemple de exponentizare sunt:

  • {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • {\displaystyle 1^{x}=1} pentru orice număr x

Dacă exponentul este egal cu 2, atunci puterea se numește pătrat, deoarece aria unui pătrat se calculează folosind {\displaystyle a^{2}}. Așadar,

{\displaystyle x^{2}} este pătratul lui x

În mod similar, dacă exponentul este egal cu 3, atunci puterea se numește cub, deoarece volumul unui cub se calculează folosind {\displaystyle a^{3}}. Așadar,

{\displaystyle x^{3}} este cubul lui x

Dacă exponentul este egal cu -1, atunci puterea este pur și simplu reciproca bazei. Deci

{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

În cazul în care exponentul este un număr întreg mai mic decât 0, atunci puterea este reciproca ridicată la exponentul opus. De exemplu:

{\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

În cazul în care exponentul este egal cu {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, atunci rezultatul exponențializării este rădăcina pătrată a bazei, cu {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}De exemplu:

{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

În mod similar, dacă exponentul este {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}, atunci rezultatul este rădăcina a n-a, unde:

{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Dacă exponentul este un număr rațional {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}, atunci rezultatul este rădăcina a q-a a bazei ridicată la puterea lui p:

{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

În unele cazuri, exponentul poate să nu fie nici măcar rațional. Pentru a ridica o bază a la o putere irațională a x-a, se utilizează o secvență infinită de numere raționale (xn ), a cărei limită este x:

{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

ca aceasta:

{\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Există câteva reguli care facilitează calculul exponenților:

  • {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • {\displaystyle a^{0}=1}

Este posibil să se calculeze exponențializarea matricelor. În acest caz, matricea trebuie să fie pătrată. De exemplu, I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .


 

Comutativitate

Atât adunarea, cât și înmulțirea sunt comutative. De exemplu, 2+3 este același lucru cu 3+2, iar 2 - 3 este același lucru cu 3 - 2. Deși exponențializarea este o înmulțire repetată, ea nu este comutativă. De exemplu, 2³=8, dar 3²=9.


 

Operații inverse

Adunarea are o operație inversă: scăderea. De asemenea, înmulțirea are o operație inversă: împărțirea.

Dar exponențierea are două operații inverse: Rădăcina și logaritmul. Acest lucru se întâmplă deoarece exponențierea nu este comutativă. Puteți vedea acest lucru în acest exemplu:

  • Dacă aveți x+2=3, atunci puteți folosi scăderea pentru a afla că x=3-2. Același lucru este valabil și în cazul în care aveți 2+x=3: obțineți, de asemenea, x=3-2. Acest lucru se datorează faptului că x+2 este același lucru cu 2+x.
  • Dacă aveți x - 2=3, atunci puteți folosi împărțirea pentru a afla că x= {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Același lucru este valabil și în cazul în care aveți 2 - x=3: obțineți, de asemenea, x= {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Acest lucru se datorează faptului că x - 2 este același lucru cu 2 - x
  • Dacă aveți x²=3, atunci folosiți rădăcina (pătrată) pentru a afla x: veți obține rezultatul că x = {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} . Cu toate acestea, dacă aveți 2x =3, atunci nu puteți utiliza rădăcina pentru a afla x. Mai degrabă, trebuie să utilizați logaritmul (binar) pentru a afla x: veți obține rezultatul x=log2 (3).

 

Pagini conexe

 

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este exponențierea?


R: Exponențializarea este o operație aritmetică asupra numerelor care poate fi considerată ca o înmulțire repetată.

Î: Cum se scrie exponențierea?


R: Exponențierea se scrie de obicei sub forma x^y, unde x este baza și y este exponentul. De asemenea, poate fi scrisă folosind semnele ^ sau **, cum ar fi 2^4 sau 2**4.

Î: Care sunt câteva exemple de exponențiere?


R: Exemple de exponențializare includ 5^3 = 5*5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 pentru fiecare număr x; și 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Î: Ce înseamnă atunci când exponentul este egal cu -1?


R: Când exponentul este egal cu -1, atunci puterea este pur și simplu reciproca bazei (x^(-1) = 1/x).

Î: Cum se calculează o putere irațională a unei baze?


R: Pentru a ridica o bază a la o putere irațională a x-a, folosim o secvență infinită de numere raționale (xn), a cărei limită este x (a^x = lim n->infinit a^(x_n)).

Î: Există reguli care facilitează calculul exponenților?


R: Da, există mai multe reguli care facilitează calculul exponenților. Printre acestea se numără (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); și așa mai departe.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3