Putere (matematică) | o operație aritmetică asupra numerelor

În matematică, exponențierea (puterea) este o operație aritmetică asupra numerelor. Ea poate fi considerată o înmulțire repetată, la fel cum înmulțirea poate fi considerată o adunare repetată.

În general, date două numere x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} , exponențierea lui x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} poate fi scrisă ca x y {\displaystyle x^{y}}. $x^{y}$ și se poate citi ca "x {\displaystyle x} ridicat la puterea lui y {\displaystyle y}". ", sau " x {\displaystyle x} la puterea y {\displaystyle y} th ". În trecut au fost utilizate și alte metode de notare matematică. Atunci când indicele superior nu poate fi scris, oamenii pot scrie puterile folosind semnele ^ sau **, astfel încât 2^4 sau 2**4 înseamnă 2 4 {\displaystyle 2^{4}}. $2^{4}$ .

Aici, numărul x {\displaystyle x} se numește bază, iar numărul y {\displaystyle y} se numește exponent. De exemplu, în 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ 2 este baza, iar 4 este exponentul.

Pentru a calcula 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , este suficient să înmulțim 4 copii ale lui 2. Deci 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , iar rezultatul este 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . Ecuația ar putea fi citită cu voce tare sub forma "2 ridicat la puterea 4 este egal cu 16".

Alte exemple de exponentizare sunt:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ pentru orice număr x

Dacă exponentul este egal cu 2, atunci puterea se numește pătrat, deoarece aria unui pătrat se calculează folosind un 2 {\displaystyle a^{2}}. $a^{2}$ . Așadar,

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ este pătratul lui x {\displaystyle x}

În mod similar, dacă exponentul este egal cu 3, atunci puterea se numește cub, deoarece volumul unui cub se calculează folosind un 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Așadar,

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ este cubul lui x {\displaystyle x}

Dacă exponentul este egal cu -1, atunci puterea este pur și simplu reciproca bazei. Deci

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

În cazul în care exponentul este un număr întreg mai mic decât 0, atunci puterea este reciproca ridicată la exponentul opus. De exemplu:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}{\frac {1}{8}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

În cazul în care exponentul este egal cu 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ${\tfrac {1}{2}}$ , atunci rezultatul exponențializării este rădăcina pătrată a bazei, cu x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ De exemplu:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

În mod similar, dacă exponentul este 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ , atunci rezultatul este rădăcina a n-a, unde:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{n}]{a}}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Dacă exponentul este un număr rațional p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} ${\tfrac {p}{q}}$ , atunci rezultatul este rădăcina a q-a a bazei ridicată la puterea lui p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

În unele cazuri, exponentul poate să nu fie nici măcar rațional. Pentru a ridica o bază a la o putere irațională a x-a, se utilizează o secvență infinită de numere raționale (x_n ), a cărei limită este x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

ca aceasta:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Există câteva reguli care facilitează calculul exponenților:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Este posibil să se calculeze exponențializarea matricelor. În acest caz, matricea trebuie să fie pătrată. De exemplu, I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Comutativitate

Atât adunarea, cât și înmulțirea sunt comutative. De exemplu, 2+3 este același lucru cu 3+2, iar 2 - 3 este același lucru cu 3 - 2. Deși exponențializarea este o înmulțire repetată, ea nu este comutativă. De exemplu, 2³=8, dar 3²=9.

Operații inverse

Adunarea are o operație inversă: scăderea. De asemenea, înmulțirea are o operație inversă: împărțirea.

Dar exponențierea are două operații inverse: Rădăcina și logaritmul. Acest lucru se întâmplă deoarece exponențierea nu este comutativă. Puteți vedea acest lucru în acest exemplu:

Dacă aveți x+2=3, atunci puteți folosi scăderea pentru a afla că x=3-2. Același lucru este valabil și în cazul în care aveți 2+x=3: obțineți, de asemenea, x=3-2. Acest lucru se datorează faptului că x+2 este același lucru cu 2+x.
Dacă aveți x - 2=3, atunci puteți folosi împărțirea pentru a afla că x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Același lucru este valabil și în cazul în care aveți 2 - x=3: obțineți, de asemenea, x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Acest lucru se datorează faptului că x - 2 este același lucru cu 2 - x
Dacă aveți x²=3, atunci folosiți rădăcina (pătrată) pentru a afla x: veți obține rezultatul că x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Cu toate acestea, dacă aveți 2^x =3, atunci nu puteți utiliza rădăcina pentru a afla x. Mai degrabă, trebuie să utilizați logaritmul (binar) pentru a afla x: veți obține rezultatul x=log₂ (3).

Pagini conexe

Exponent
Funcția exponențială
Exponentizarea prin ridicarea la pătrat
Tetration

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este exponențierea?

R: Exponențializarea este o operație aritmetică asupra numerelor care poate fi considerată ca o înmulțire repetată.

Î: Cum se scrie exponențierea?

R: Exponențierea se scrie de obicei sub forma x^y, unde x este baza și y este exponentul. De asemenea, poate fi scrisă folosind semnele ^ sau **, cum ar fi 2^4 sau 2**4.

Î: Care sunt câteva exemple de exponențiere?

R: Exemple de exponențializare includ 5^3 = 5*5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 pentru fiecare număr x; și 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Î: Ce înseamnă atunci când exponentul este egal cu -1?

R: Când exponentul este egal cu -1, atunci puterea este pur și simplu reciproca bazei (x^(-1) = 1/x).

Î: Cum se calculează o putere irațională a unei baze?

R: Pentru a ridica o bază a la o putere irațională a x-a, folosim o secvență infinită de numere raționale (xn), a cărei limită este x (a^x = lim n->infinit a^(x_n)).

Î: Există reguli care facilitează calculul exponenților?

R: Da, există mai multe reguli care facilitează calculul exponenților. Printre acestea se numără (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); și așa mai departe.