În matematică, exponențierea (puterea) este o operație aritmetică asupra numerelor. Ea poate fi considerată o înmulțire repetată, la fel cum înmulțirea poate fi considerată o adunare repetată.

În general, date două numere x și y, exponențierea lui x și y poate fi scrisă ca {\displaystyle x^{y}}și se poate citi ca "x ridicat la puterea lui y", sau " x la puterea y th ". În trecut au fost utilizate și alte metode de notare matematică. Atunci când indicele superior nu poate fi scris, oamenii pot scrie puterile folosind semnele ^ sau **, astfel încât 2^4 sau 2**4 înseamnă {\displaystyle 2^{4}}.

Aici, numărul x se numește bază, iar numărul y se numește exponent. De exemplu, în {\displaystyle 2^{4}}2 este baza, iar 4 este exponentul.

Pentru a calcula {\displaystyle 2^{4}}, este suficient să înmulțim 4 copii ale lui 2. Deci ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} , iar rezultatul este ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}. {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}. Ecuația ar putea fi citită cu voce tare sub forma "2 ridicat la puterea 4 este egal cu 16".

Alte exemple de exponentizare sunt:

  • {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • {\displaystyle 1^{x}=1} pentru orice număr x

Dacă exponentul este egal cu 2, atunci puterea se numește pătrat, deoarece aria unui pătrat se calculează folosind {\displaystyle a^{2}}. Așadar,

{\displaystyle x^{2}} este pătratul lui x

În mod similar, dacă exponentul este egal cu 3, atunci puterea se numește cub, deoarece volumul unui cub se calculează folosind {\displaystyle a^{3}}. Așadar,

{\displaystyle x^{3}} este cubul lui x

Dacă exponentul este egal cu -1, atunci puterea este pur și simplu reciproca bazei. Deci

{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

În cazul în care exponentul este un număr întreg mai mic decât 0, atunci puterea este reciproca ridicată la exponentul opus. De exemplu:

{\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

În cazul în care exponentul este egal cu {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, atunci rezultatul exponențializării este rădăcina pătrată a bazei, cu {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}De exemplu:

{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

În mod similar, dacă exponentul este {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}, atunci rezultatul este rădăcina a n-a, unde:

{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Dacă exponentul este un număr rațional {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}, atunci rezultatul este rădăcina a q-a a bazei ridicată la puterea lui p:

{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

În unele cazuri, exponentul poate să nu fie nici măcar rațional. Pentru a ridica o bază a la o putere irațională a x-a, se utilizează o secvență infinită de numere raționale (xn ), a cărei limită este x:

{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

ca aceasta:

{\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Există câteva reguli care facilitează calculul exponenților:

  • {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • {\displaystyle a^{0}=1}

Este posibil să se calculeze exponențializarea matricelor. În acest caz, matricea trebuie să fie pătrată. De exemplu, ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .