Logaritm | matematică

Logaritmii au fost utilizați pentru prima dată în India în secolul al II-lea î.Hr. Primul care a folosit logaritmi în epoca modernă a fost matematicianul german Michael Stifel (în jurul anilor 1487-1567). În 1544, el a scris următoarele ecuații: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} și q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}}{q^{n}}}=q^{m-n}}}. . Aceasta este baza pentru înțelegerea logaritmilor. Pentru Stifel, m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} trebuiau să fie numere întregi. John Napier (1550-1617) nu a dorit această restricție și a dorit un interval pentru exponenți.

Potrivit lui Napier, logaritmii exprimă rapoarte: a {\displaystyle a} are același raport cu b {\displaystyle b} , ca și c {\displaystyle c} cu d {\displaystyle d} dacă diferența dintre logaritmii lor se potrivește. Matematic: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . La început, s-a folosit baza e (chiar dacă numărul nu fusese încă denumit). Henry Briggs a propus utilizarea lui 10 ca bază pentru logaritmi, astfel de logaritmi fiind foarte utili în astronomie.

Un logaritm spune ce exponent (sau putere) este necesar pentru a obține un anumit număr, astfel încât logaritmii sunt inversul (opusul) exponențializării.

La fel cum o funcție exponențială are trei părți, un logaritm are și el trei părți: o bază, un argument și un răspuns (numit și putere).

Următorul este un exemplu de funcție exponențială:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

În această funcție, baza este 2, argumentul este 3, iar răspunsul este 8.

Această ecuație exponențială are o ecuație inversă, ecuația logaritmică:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

În această ecuație, baza este 2, argumentul este 8, iar răspunsul este 3.

Adunarea are o operație inversă: scăderea. De asemenea, înmulțirea are o operație inversă: împărțirea. Cu toate acestea, exponențierea are de fapt două operații inverse: rădăcina și logaritmul. Motivul pentru care se întâmplă acest lucru are legătură cu faptul că exponențierea nu este comutativă.

Următorul exemplu ilustrează acest lucru:

• Dacă x+2=3, atunci se poate folosi scăderea pentru a afla că x=3-2. Același lucru este valabil și în cazul în care 2+x=3: se obține, de asemenea, x=3-2. Acest lucru se datorează faptului că x+2 este același lucru cu 2+x.
• Dacă x - 2=3, atunci se poate folosi împărțirea pentru a afla că x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Același lucru este valabil și în cazul în care 2 - x=3: se obține x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Acest lucru se datorează faptului că x - 2 este același lucru cu 2 - x.
• Dacă x²=3, atunci se poate folosi rădăcina (pătrată) pentru a afla că x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Cu toate acestea, dacă 2^x =3, atunci nu se poate folosi rădăcina pentru a afla x. Mai degrabă, trebuie să se folosească logaritmul (binar) pentru a afla că x=log₂ (3). Acest lucru se datorează
  faptului că 2^x nu este de obicei același lucru cu x² (de exemplu, 2⁵ =32, dar 5²=25).

Logaritmii pot facilita înmulțirea și împărțirea numerelor mari, deoarece adunarea logaritmilor este aceeași cu înmulțirea, iar scăderea logaritmilor este aceeași cu împărțirea.

Înainte ca calculatoarele să devină populare și comune, oamenii foloseau tabelele de logaritmi din cărți pentru a înmulți și împărți. Aceleași informații dintr-un tabel de logaritmi erau disponibile pe o riglă de calcul, un instrument pe care erau scrise logaritmi.

În afară de calcule, logaritmul are și multe alte aplicații în viața reală:

• Spiralele logaritmice sunt frecvente în natură. Printre exemple se numără cochilia unui nautilus sau aranjamentul semințelor de pe o floarea-soarelui.
• În chimie, negativul logaritmului în baza 10 al activității ionilor de hidroniu (H₃ O⁺ , forma pe care H⁺ o ia în apă) este măsura cunoscută sub numele de pH. Activitatea ionilor de hidroniu în apa neutră este de 10⁻⁷ mol/L la 25 °C, de unde rezultă un pH de 7. (Acest lucru este rezultatul faptului că constanta de echilibru, produsul concentrației ionilor de hidroniu și a ionilor de hidroxil, în soluțiile de apă, este de 10⁻¹⁴ M² .)
• Scara Richter măsoară intensitatea cutremurelor pe o scară logaritmică de bază 10.
• În astronomie, magnitudinea aparentă măsoară luminozitatea stelelor în mod logaritmic, deoarece ochiul răspunde, de asemenea, în mod logaritmic la luminozitate.
• Intervalele muzicale se măsoară logaritmic ca semitonuri. Intervalul dintre două note, exprimat în semitonuri, este logaritmul de bază 2^1/12 al raportului de frecvență (sau, în mod echivalent, de 12 ori logaritmul de bază 2). Semitonurile fracționare sunt utilizate pentru temperamentele neegale. În special pentru a măsura abaterile de la scara temperată egală, intervalele sunt exprimate, de asemenea, în cenți (sutimi dintr-un semiton temperat egal). Intervalul dintre două note în cenți este logaritmul de bază-2^1/1200 al raportului de frecvență (sau de 1200 de ori logaritmul de bază-2). În MIDI, notele sunt numerotate pe scara de semitonuri (ton nominal absolut logaritmic, cu Do de mijloc la 60). Pentru microacordarea la alte sisteme de acordaj, se definește o scală logaritmică care completează în mod compatibil intervalele dintre semitonurile scării temperate egale. Această scală corespunde numerelor de note pentru semitonuri întregi. (a se vedea microtuning în MIDI Archived 2008-02-12 at the Wayback Machine).

Logaritmii în baza 10 se numesc logaritmi comuni. Aceștia se scriu de obicei fără bază. De exemplu:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Acest lucru este adevărat deoarece:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }
 

Logaritmii în baza e se numesc logaritmi naturali. Numărul e este aproape 2,71828 și se mai numește și constanta euleriană, după numele matematicianului Leonhard Euler.

Logaritmii naturali pot lua simbolurile log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} sau ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} . Unii autori preferă utilizarea logaritmilor naturali ca log ( x ) {\displaystyle \log(x)} , dar de obicei menționează acest lucru în paginile de prefață.

Logaritmii au multe proprietăți. De exemplu:

Proprietăți din definiția unui logaritm

Această proprietate rezultă direct din definiția unui logaritm:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} De exemplu

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} și

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1} , deoarece 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}}} .

Logaritmul în baza b al unui număr a, este același cu logaritmul lui a împărțit la logaritmul lui b. Adică,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}}

De exemplu, a să fie 6 și b să fie 2. Cu ajutorul calculatoarelor putem arăta că acest lucru este adevărat (sau cel puțin foarte apropiat):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\aprox 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}}\approx 2.584970}

Rezultatele de mai sus au avut o mică eroare, dar aceasta s-a datorat rotunjirii numerelor.

Deoarece este greu să ne imaginăm logaritmul natural, găsim că, în termeni de logaritm în baza zece:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \lnn(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}\aprox {\frac {\log(x)}{0.434294}}}}} , unde 0,434294 este o aproximare pentru logaritmul lui e.

Operații în cadrul argumentelor logaritmice

Logaritmii care se înmulțesc în interiorul argumentului lor pot fi modificați după cum urmează:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

De exemplu,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

În mod similar, logaritmul care împarte în interiorul argumentului poate fi transformat într-o diferență de logaritm (deoarece este operația inversă a înmulțirii):

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Tabele de logaritmi, reguli de calcul și aplicații istorice

Înainte de apariția calculatoarelor electronice, logaritmii erau utilizați zilnic de oamenii de știință. Logaritmii au ajutat oamenii de știință și inginerii în multe domenii, cum ar fi astronomia.

Înainte de apariția calculatoarelor, tabelul logaritmilor a fost un instrument important. În 1617, Henry Briggs a tipărit primul tabel de logaritmi. Acest lucru s-a întâmplat la scurt timp după invenția de bază a lui Napier. Mai târziu, oamenii au realizat tabele cu o mai mare amploare și precizie. Aceste tabele enumerau valorile lui log_b (x) și b^x pentru orice număr x dintr-un anumit interval, la o anumită precizie, pentru o anumită bază b (de obicei b = 10). De exemplu, primul tabel al lui Briggs conținea logaritmii comuni ai tuturor numerelor întregi din intervalul 1-1000, cu o precizie de 8 cifre.

Deoarece funcția f(x) = b^x este funcția inversă a log_b (x), aceasta a fost numită antilogaritm. Oamenii au folosit aceste tabele pentru a înmulți și împărți numere. De exemplu, un utilizator a căutat în tabel logaritmul pentru fiecare dintre cele două numere pozitive. Adăugarea numerelor din tabel ar fi dat logaritmul produsului. Funcția antilogaritm a tabelului ar găsi apoi produsul pe baza logaritmului său.

Pentru calculele manuale care necesită precizie, efectuarea căutărilor celor doi logaritmi, calcularea sumei sau diferenței lor și căutarea antilogaritmului este mult mai rapidă decât efectuarea înmulțirii prin metode anterioare.

Multe tabele de logaritmi oferă logaritmi prin furnizarea separată a caracteristicii și a mantissei lui x, adică partea întreagă și partea fracționară a log₁₀ (x). Caracteristica lui 10 - x este unu plus caracteristica lui x, iar semnificațiile lor sunt aceleași. Acest lucru extinde domeniul de aplicare al tabelelor de logaritmi: având în vedere un tabel care enumeră log₁₀ (x) pentru toți numerele întregi x cuprinse între 1 și 1000, logaritmul lui 3542 este aproximat de către

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\aprox. 1+\log _{10}(354).\,}

O altă aplicație esențială a fost regula de calcul, o pereche de scări divizate logaritmic, utilizată pentru calcule, așa cum este ilustrat aici:

Numerele sunt marcate pe scări glisante la distanțe proporționale cu diferențele dintre logaritmii lor. Glisarea corespunzătoare a scării superioare echivalează cu adunarea mecanică a logaritmilor. De exemplu, dacă se adaugă distanța dintre 1 și 2 de pe scara inferioară la distanța dintre 1 și 3 de pe scara superioară, se obține un produs de 6, care se citește în partea inferioară. Mulți ingineri și oameni de știință au folosit reguli de calcul până în anii 1970. Oamenii de știință pot lucra mai repede folosind o riglă de calcul decât folosind un tabel de logaritmi.

• Constanta Euler-Mascheroni
• Teorema numerelor prime