Rotunjire | o valoare numerică înseamnă înlocuirea ei cu o altă valoare aproximativ egală

Problemele tipice de rotunjire pot include:

• Aproximarea unui număr irațional printr-o fracție. De exemplu, π cu 22/7.
• Aproximarea unei fracții cu expansiune zecimală periodică cu o fracție zecimală finită. De exemplu, 5/3 cu 1,6667.
• Înlocuirea unui număr rațional cu o fracție cu numitor și numitor mai mici. De exemplu, 3122/9417 cu 1/3.
• Înlocuirea unui număr zecimal fracționar cu un număr cu mai puține cifre. De exemplu, 2,1784 dolari cu 2,18 dolari.
• Înlocuirea unui număr întreg zecimal cu un număr întreg cu mai multe zerouri la sfârșit. De exemplu. 23.217 persoane cu 23.200 persoane.
• Înlocuirea unei valori cu un multiplu al unei sume specificate. De exemplu. 27,2 secunde cu 30 de secunde (un multiplu de 15).

Cel mai frecvent tip de rotunjire este rotunjirea la un număr întreg; sau, mai general, la un multiplu întreg al unei anumite creșteri - cum ar fi rotunjirea la zecimi întregi de secundă, sutimi de dolar, multipli întregi de 1/2 sau 1/8 inch, zecimi întregi sau mii întregi etc..

În general, rotunjirea unui număr x la un multiplu al unui anumit increment specificat m presupune următorii pași:

1. Se împarte x la m, iar rezultatul este y;
2. Rotunjiți y la o valoare întreagă și numiți-o q;
3. Înmulțiți q cu m pentru a obține valoarea rotunjită z.

z = r o u n d ( x , m ) = r o u n d ( x / m ) ⋅ m {\displaystyle z=\mathrm {round} (x,m)=\mathrm {round} (x/m)\cdot m\,}

De exemplu, rotunjirea lui x = 2,1784 dolari la cenți întregi (adică la un multiplu de 0,01) presupune calcularea lui y = x/m = 2,1784/0,01 = 217,84, apoi rotunjirea lui y la numărul întreg q = 218 și, în final, calcularea lui z = q×m = 218×0,01 = 2,18.

Atunci când se rotunjește la un număr predeterminat de cifre semnificative, creșterea m depinde de mărimea numărului care trebuie rotunjit (sau a rezultatului rotunjit).

Creșterea m este în mod normal o fracție finită în orice sistem numeric utilizat pentru reprezentarea numerelor. Pentru afișarea pentru oameni, acesta înseamnă, de obicei, sistemul numeric zecimal (adică m este un număr întreg înmulțit cu o putere de 10, cum ar fi 1/1000 sau 25/100). Pentru valorile intermediare stocate în computerele digitale, aceasta înseamnă adesea sistemul numeric binar (m este un număr întreg înmulțit cu o putere de 2).

Funcția abstractă cu un singur argument "round()", care returnează un număr întreg dintr-o valoare reală arbitrară, are cel puțin o duzină de definiții concrete distincte prezentate în secțiunea de rotunjire la numere întregi. Funcția abstractă cu două argumente "round()" este definită formal aici, dar în multe cazuri este utilizată cu valoarea implicită m = 1 pentru increment și se reduce apoi la funcția abstractă echivalentă cu un singur argument, cu aceeași duzină de definiții concrete distincte.

Cea mai elementară formă de rotunjire constă în înlocuirea unui număr arbitrar cu un număr întreg. Toate modurile de rotunjire următoare sunt implementări concrete ale funcției abstracte "round()" cu un singur argument, prezentată și utilizată în secțiunile anterioare.

Există mai multe moduri de rotunjire a unui număr y la un număr întreg q. Cele mai frecvente sunt următoarele

• Rotunjiți în jos (sau luați minimul sau rotunjiți spre minus infinit): q este cel mai mare număr întreg care nu depășește y.

q = f l o o o r ( y ) = ⌊ y ⌋ = - ⌈ - y ⌉ {\displaystyle q=\mathrm {floor} (y)=\left\lfloor y\right\rfloor =-\left\lceil -y\right\rceil \,}

• Rotunjiți în sus (sau luați plafonul, sau rotunjiți spre plus infinit): q este cel mai mic număr întreg care nu este mai mic decât y.

q = c e i l ( y ) = ⌈ y ⌉ = - ⌊ - y ⌋ {\displaystyle q=\mathrm {ceil} (y)=\left\lceil y\right\rceil =-\left\lfloor -y\right\rfloor \,}

• Rotunjire spre zero (sau trunchiat, sau rotunjire de la infinit): q este partea întreagă a lui y, fără cifrele de fracție.

q = t r u n c a t e ( y ) = sgn ( y ) ⌊ | y | ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ - | y | ⌉ {\displaystyle q=\mathrm {truncate} (y)=\operatorname {sgn}(y)\left\lfloor \left|y\right|\right\rfloor =-\operatorname {sgn}(y)\left\lceil -\left|y\right|\right\rceil \,}

• Rotunjirea de la zero (sau rotunjirea spre infinit): dacă y este un număr întreg, q este y; în caz contrar, q este numărul întreg cel mai apropiat de 0 și este astfel încât y este cuprins între 0 și q.

q = sgn ( y ) ⌈ | y | ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | ⌋ {\displaystyle q=\operatorname {sgn}(y)\left\lceil \left|y\right|\right\rceil =-\operatorname {sgn}(y)\left\lfloor -\left|y\right|\right\rfloor \,}

• Rotunjire la cel mai apropiat: q este numărul întreg care este cel mai apropiat de y. Acest lucru este uneori scris ca q = ⌊ y ⌉ {\displaystyle q=\lfloor y\rceil } (a se vedea mai jos pentru regulile de departajare).

Primele patru metode se numesc rotunjire dirijată, deoarece deplasările de la numărul original y la valoarea rotunjită q sunt toate îndreptate spre sau de la aceeași valoare limită (0, +∞ sau -∞).

În cazul în care y este pozitiv, rotunjirea în jos este identică cu rotunjirea spre zero, iar rotunjirea în sus este identică cu rotunjirea de la zero. Dacă y este negativ, rotunjirea în jos este aceeași cu rotunjirea spre zero, iar rotunjirea în sus este aceeași cu rotunjirea spre zero. În orice caz, dacă y este un număr întreg, q este doar y. Tabelul următor ilustrează aceste metode de rotunjire:

În cazul în care mai multe calcule sunt efectuate în succesiune, alegerea metodei de rotunjire poate avea un efect foarte semnificativ asupra rezultatului. Un exemplu celebru a fost cel al unui nou indice stabilit de Bursa de Valori din Vancouver în 1982. Acesta a fost stabilit inițial la 1000.000, iar după 22 de luni scăzuse la aproximativ 520 - în timp ce prețurile acțiunilor crescuseră în general în acea perioadă. Problema a fost cauzată de faptul că indicele a fost recalculat de mii de ori pe zi și a fost întotdeauna rotunjit la 3 zecimale, astfel încât erorile de rotunjire s-au acumulat. Recalcularea cu o rotunjire mai bună a dat o valoare a indicelui de 1098,892 la sfârșitul aceleiași perioade.

Rotunjirea unui număr y la cel mai apropiat număr întreg necesită o regulă de departajare pentru cazurile în care y este exact la jumătatea distanței dintre două numere întregi - adică atunci când partea de fracție a lui y este exact 0,5.

Rotunjire pe jumătate în sus

Următoarea regulă de departajare, numită rotunjire la jumătate în sus (sau rotunjire la jumătate spre plus infinit), este utilizată pe scară largă în multe discipline. Adică, valorile y la jumătatea drumului sunt întotdeauna rotunjite în sus.

• Dacă fracția lui y este exact 0,5, atunci q = y + 0,5.

q = ⌊ y + 0.5 ⌋ = - ⌈ - y - 0.5 ⌉ {\displaystyle q=\left\lfloor y+0.5\right\rfloor =-\left\lceil -y-0.5\right\rceil \,}

De exemplu, prin această regulă, valoarea 23,5 se rotunjește la 24, dar -23,5 se rotunjește la -23.

Aceasta este una dintre cele două reguli care se predau, în general, în clasele de matematică elementară din SUA.

Dacă nu ar fi vorba de fracțiile de 0,5, erorile de rotunjire introduse de metoda rotunjirii la cea mai apropiată ar fi destul de simetrice: pentru fiecare fracție care este rotunjită în sus (cum ar fi 0,268), există o fracție complementară (și anume, 0,732) care este rotunjită în jos, cu aceeași valoare. La rotunjirea unui set mare de numere cu părți fracționare aleatorii, aceste erori de rotunjire s-ar compensa statistic reciproc, iar valoarea așteptată (medie) a numerelor rotunjite ar fi egală cu valoarea așteptată a numerelor originale.

Cu toate acestea, regula de departajare prin rotunjire la jumătate nu este simetrică, deoarece fracțiile care sunt exact 0,5 sunt întotdeauna rotunjite în sus. Această asimetrie introduce o distorsiune pozitivă în erorile de rotunjire. De exemplu, dacă fracția y este formată din trei cifre zecimale aleatorii, atunci valoarea așteptată a lui q va fi cu 0,0005 mai mare decât valoarea așteptată a lui y. Din acest motiv, rotunjirea la egalitate cu regula de rotunjire la jumătate în sus este, de asemenea, cunoscută (în mod ambiguu) sub numele de rotunjire asimetrică.

Unul dintre motivele pentru care se rotunjește la 0,5 este acela că trebuie examinată doar o singură cifră. Atunci când vedeți 17,50000..., de exemplu, primele trei cifre, 17,5, determină faptul că cifra va fi rotunjită la 18. Dacă s-ar folosi regula opusă (rotunjirea la jumătate în jos), atunci ar trebui examinate toate zecimalele zero pentru a determina dacă valoarea este exact 17,5.

Rotund pe jumătate în jos

De asemenea, se poate folosi rotunjirea la jumătate în jos (sau rotunjirea la jumătate spre minus infinit), spre deosebire de rotunjirea la jumătate în sus, mai frecventă (metoda rotunjirii la jumătate în sus este o convenție comună, dar nu este nimic mai mult decât o convenție).

• Dacă fracția lui y este exact 0,5, atunci q = y - 0,5.

q = ⌈ y - 0.5 ⌉ = - ⌊ - y + 0.5 ⌋ {\displaystyle q=\left\lceil y-0.5\right\rceil =-\left\lfloor -y+0.5\right\rfloor \,}

De exemplu, 23,5 se rotunjește la 23, iar -23,5 se rotunjește la -24.

Regula de departajare a egalității prin rotunjire la jumătate nu este simetrică, deoarece fracțiile care sunt exact 0,5 sunt întotdeauna rotunjite în jos. Această asimetrie introduce o distorsiune negativă în erorile de rotunjire. De exemplu, dacă fracția y este formată din trei cifre zecimale aleatorii, atunci valoarea așteptată a lui q va fi cu 0,0005 mai mică decât valoarea așteptată a lui y. Din acest motiv, rotunjirea la egalitate cu regula rotunjirii la jumătate în jos este cunoscută (în mod ambiguu) și sub numele de rotunjire asimetrică.

Rotunjire la jumătate de la zero

Cealaltă metodă de departajare a egalității învățată și utilizată în mod obișnuit este rotunjirea la jumătate de la zero (sau rotunjirea la jumătate spre infinit), și anume:

• Dacă fracția lui y este exact 0,5, atunci q = y + 0,5 dacă y este pozitiv, iar q = y - 0,5 dacă y este negativ.

q = sgn ( y ) ⌊ | y | + 0.5 ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ - | y | - 0.5 ⌉ {\displaystyle q=\operatorname {sgn}(y)\left\lfloor \left|y\\right|+0.5\right\rfloor =-\operatorname {sgn}(y)\left\lceil -\left|y\right|-0.5\right\rceil \,}

De exemplu, 23,5 se rotunjește la 24, iar -23,5 se rotunjește la -24.

Această metodă tratează valorile pozitive și negative în mod simetric și, prin urmare, nu are nicio distorsiune generală dacă numerele originale sunt pozitive sau negative cu probabilitate egală. Cu toate acestea, această regulă va introduce totuși o distorsiune pozitivă pentru numerele pozitive și o distorsiune negativă pentru cele negative.

Este adesea utilizat pentru conversiile valutare și rotunjirea prețurilor (atunci când suma este convertită mai întâi în cea mai mică subdiviziune semnificativă a monedei, cum ar fi cenți dintr-un euro), deoarece este ușor de explicat prin luarea în considerare doar prima cifră fracționară, indiferent de cifrele de precizie suplimentare sau de semnul sumei (pentru o echivalență strictă între plătitor și destinatar al sumei).

Jumătate rotundă spre zero

De asemenea, se poate rotunji la jumătate spre zero (sau rotunji la jumătate față de infinit), spre deosebire de cea mai obișnuită rotunjire la jumătate față de zero (metoda rotunjirii la jumătate față de zero este o convenție comună, dar nu este nimic mai mult decât o convenție).

• Dacă fracția lui y este exact 0,5, atunci q = y - 0,5 dacă y este pozitiv, iar q = y + 0,5 dacă y este negativ.

q = sgn ( y ) ⌈ | y | - 0.5 ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | + 0.5 ⌋ {\displaystyle q=\operatorname {sgn}(y)\left\lceil \left|y\right|-0.5\right\rceil =-\operatorname {sgn}(y)\left\lfloor -\left|y\right|+0.5\right\rfloor \,}

De exemplu, 23,5 se rotunjește la 23, iar -23,5 se rotunjește la -23.

Această metodă tratează, de asemenea, valorile pozitive și negative în mod simetric și, prin urmare, nu are nicio prejudecată generală dacă numerele originale sunt pozitive sau negative cu aceeași probabilitate. Cu toate acestea, această regulă va introduce totuși o distorsiune negativă pentru numerele pozitive și o distorsiune pozitivă pentru cele negative.

Rotunjiți jumătate până la egalitate

O regulă de departajare care este și mai puțin părtinitoare este rotunjirea jumătății la egalitate, și anume

• Dacă fracția lui y este 0,5, atunci q este numărul întreg par cel mai apropiat de y.

Astfel, de exemplu, +23,5 devine +24, +22,5 devine +22, -22,5 devine -22, iar -23,5 devine -24.

Această metodă tratează, de asemenea, valorile pozitive și negative în mod simetric și, prin urmare, nu are nicio prejudecată generală dacă numerele originale sunt pozitive sau negative cu aceeași probabilitate. În plus, pentru cele mai multe distribuții rezonabile ale valorilor y, valoarea așteptată (medie) a numerelor rotunjite este, în esență, aceeași cu cea a numerelor originale, chiar dacă acestea din urmă sunt toate pozitive (sau toate negative). Cu toate acestea, această regulă va introduce totuși o distorsiune pozitivă pentru numerele pare (inclusiv zero) și o distorsiune negativă pentru cele impare.

Această variantă a metodei de rotunjire până la cel mai apropiat este denumită și rotunjire nepărtinitoare (în mod ambiguu și puțin abuziv), rotunjire convergentă, rotunjirea statisticianului, rotunjirea olandeză, rotunjirea gaussiană sau rotunjirea bancherilor. Acesta este utilizat pe scară largă în contabilitate.

Acesta este modul de rotunjire implicit utilizat în funcțiile și operatorii de calcul IEEE 754.

Rotunjirea jumătății la impar

O altă regulă de departajare care este foarte asemănătoare cu rotunjirea jumătății la egalitate, și anume

• Dacă fracția lui y este 0,5, atunci q este numărul întreg impar cel mai apropiat de y.

Astfel, de exemplu, +22,5 devine +23, +21,5 devine +21, -21,5 devine -21, iar -22,5 devine -23.

Această metodă tratează, de asemenea, valorile pozitive și negative în mod simetric și, prin urmare, nu are nicio prejudecată generală dacă numerele originale sunt pozitive sau negative cu aceeași probabilitate. În plus, pentru cele mai multe distribuții rezonabile ale valorilor y, valoarea așteptată (medie) a numerelor rotunjite este, în esență, aceeași cu cea a numerelor originale, chiar dacă acestea din urmă sunt toate pozitive (sau toate negative). Cu toate acestea, această regulă va introduce totuși o distorsiune negativă pentru numerele pare (inclusiv zero) și o distorsiune pozitivă pentru cele impare.

Această variantă nu este aproape niciodată utilizată în majoritatea calculelor, cu excepția situațiilor în care se dorește evitarea rotunjirii la zero a valorilor 0,5 sau -0,5 sau pentru a evita creșterea scalei numerelor reprezentate în virgulă mobilă (cu intervale limitate pentru exponentul de scalare), astfel încât un număr care nu este infinit să se rotunjească la infinit sau o valoare mică denormală să se rotunjească la o valoare normală diferită de zero (acestea ar putea apărea cu modul de rotunjire la jumătate la par). În mod efectiv, acest mod preferă să păstreze scara existentă a numerelor de egalitate, evitând rezultatele în afara intervalului atunci când este posibil.

Rotunjire stocastică

O altă metodă imparțială de departajare este rotunjirea stocastică:

• Dacă partea fracționară a lui y este 0,5, alegeți q la întâmplare între y + 0,5 și y - 0,5, cu probabilitate egală.

La fel ca și regula rotunjirea de la jumătate la egal, această regulă este în esență lipsită de prejudecăți generale; dar este, de asemenea, echitabilă între valorile q pare și impare. Pe de altă parte, aceasta introduce o componentă aleatorie în rezultat; efectuarea aceluiași calcul de două ori pe aceleași date poate produce două rezultate diferite. De asemenea, este expus la prejudecăți inconștiente dacă oamenii (mai degrabă decât computerele sau dispozitivele de noroc) decid "la întâmplare" în ce direcție să rotunjească.

Despărțire alternantă

O metodă, mai obscură decât cele mai multe, este rotunjirea alternativă a jumătăților.

• Dacă partea fracționară este 0,5, rotunjiți alternativ în sus și în jos: pentru prima apariție a unei părți fracționare de 0,5, rotunjiți în sus; pentru a doua apariție, rotunjiți în jos; și așa mai departe.

Acest lucru suprimă componenta aleatorie a rezultatului, în cazul în care aparițiile de 0,5 părți fracționare pot fi efectiv numerotate. Dar poate introduce totuși o distorsiune pozitivă sau negativă, în funcție de sensul de rotunjire atribuit primei apariții, dacă numărul total de apariții este impar.

În anumite contexte, toate metodele de rotunjire de mai sus pot fi nesatisfăcătoare. De exemplu, să presupunem că y este o măsurătoare precisă a unui semnal audio, care este rotunjită la un număr întreg q pentru a reduce costurile de stocare sau de transmisie. Dacă y se modifică lent în timp, oricare dintre metodele de rotunjire de mai sus va avea ca rezultat faptul că q va fi complet constant pentru intervale lungi de timp, separate de salturi bruște de ±1. Când semnalul q este redat, acești pași vor fi auziți ca un zgomot foarte neplăcut, iar orice variație a semnalului original între două valori întregi va fi complet pierdută.

O modalitate de a evita această problemă este de a rotunji fiecare valoare y în sus cu o probabilitate egală cu fracția sa și de a o rotunji în jos cu complementul acestei probabilități. De exemplu, numărul 23,17 va fi rotunjit în sus la 24 cu probabilitatea 0,17, iar în jos la 23 cu probabilitatea 1 - 0,17 = 0,83. (Acest lucru este echivalent cu rotunjirea lui y + s în jos, unde s este un număr aleatoriu distribuit uniform între 0 și 1). Cu această rotunjire specială, cunoscută sub numele de dithering, pașii bruște sunt înlocuiți de un zgomot mai puțin criticabil și chiar și micile variații ale semnalului original vor fi păstrate într-o anumită măsură. La fel ca abordarea stocastică a spargerii egalității, dithering-ul nu are nicio prejudecată: dacă toate valorile fracțiilor sunt la fel de probabile, rotunjirea în sus cu o anumită valoare este la fel de probabilă ca și rotunjirea în jos cu aceeași valoare; și același lucru este valabil pentru suma mai multor numere rotunjite. Pe de altă parte, dithering-ul introduce o componentă aleatorie în rezultat, mult mai mare decât cea a procedurii stocastice de departajare.

Mai exact, eroarea de rotunjire pentru fiecare număr de cifre va fi o variabilă aleatoare uniform distribuită cu o medie de zero, dar cu o abatere standard 1 / 12 ≈ 0,2886 {\displaystyle 1/{\sqrt {12}}\aprox 0,2886}. , care este mai bună decât abaterea standard 1/2 cu metodele predictive simple, dar ușor mai mare decât cu metoda stocastică mai simplă. Cu toate acestea, suma a n numere rotunjite va fi o variabilă aleatoare cu eroare așteptată zero, dar cu abaterea standard n / 12 {\displaystyle {\sqrt {n}}}/{\sqrt {12}}} (zgomotul total rămas) care diverge semicadrat și poate deveni ușor perceptibilă, chiar dacă abaterea standard a erorii de rotunjire pentru fiecare eșantion va fi de 1 / 12 n {\displaystyle 1/{\sqrt {12n}}} care converge lent și semi-cadratic spre zero. Astfel, această distribuție aleatorie poate fi totuși prea mare pentru unele aplicații care rotunjesc multe date.

Această variantă a metodei simple de redimensionare continuă să rotunjească valorile cu o probabilitate egală cu fracția sa. Cu toate acestea, în loc să se utilizeze o distribuție aleatorie pentru rotunjirea eșantioanelor izolate, eroarea de rotunjire care apare la fiecare eșantion rotunjit este însumată pentru următoarele elemente înconjurătoare care urmează să fie eșantionate sau calculate; această valoare acumulată este apoi adăugată la valoarea următoarelor valori eșantionate sau calculate care urmează să fie rotunjite, astfel încât valorile modificate să țină seama de această diferență folosind un model predictiv (cum ar fi ditheringul Floyd-Steinberg).

Valorile modificate sunt apoi rotunjite cu oricare dintre metodele de rotunjire de mai sus, cele mai bune fiind metodele stocastice sau dithering: în acest ultim caz, suma celor n numere rotunjite va fi în continuare o variabilă aleatoare cu eroare așteptată zero, dar cu o abatere standard constantă excelentă de 1 / 12 {\displaystyle 1/{\sqrt {12}}}. , în loc să difere semicadrat în cazul eșantioanelor izolate; iar abaterea medie globală a erorii de rotunjire pentru fiecare eșantion rotunjit va fi de 1 / ( n 12 ) {\displaystyle 1/(n{\sqrt {12}})} care va converge hiperbolic spre zero, mai rapid decât în cazul convergenței semihiperbolice în cazul eșantioanelor izolate.

În practică, atunci când se rotunjesc seturi mari de date eșantionate (cum ar fi redarea audio, a imaginilor și a imaginilor video), acumularea erorilor de rotunjire este cel mai frecvent utilizată cu o simplă rotunjire predictivă a valorilor modificate (cum ar fi rotunjirea spre zero), deoarece aceasta va păstra convergența hiperbolică spre zero a deviației medii globale a erorii de rotunjire și a abaterii standard a acesteia. Această îmbunătățire este frecvent utilizată în prelucrarea imaginilor și a înregistrărilor audio (în special pentru operații precise de redimensionare și antialiasare, în cazul în care simpla redimensionare probabilistică a valorilor izolate poate produce în continuare zgomot perceptibil, uneori chiar mai rău decât efectele moiré care apar cu metodele simple de rotunjire neprobabilistică aplicate eșantioanelor izolate).

Propagarea efectivă a erorilor de rotunjire acumulate poate depinde de dimensiunea discretă a datelor eșantionate care trebuie rotunjite: la eșantionarea imaginilor bidimensionale, inclusiv a imaginilor colorate (care adaugă dimensiunea discretă a planurilor de culoare), sau a videoclipurilor tridimensionale (care adaugă o dimensiune discretă de timp), sau pe date audio polifonice (care utilizează dimensiuni discrete de timp și canal), poate fi totuși preferabil să se propage această eroare într-o direcție preferată, sau în mod egal în mai multe dimensiuni ortogonale, cum ar fi pe verticală vs. pe verticală. orizontal pentru imagini bidimensionale, sau în canale de culoare paralele la aceeași poziție și/sau marcaj temporal, și în funcție de alte proprietăți ale acestor dimensiuni discrete ortogonale (conform unui model de percepție). În aceste cazuri, pot fi utilizați mai mulți acumulatori de erori de rotunjire (cel puțin unul pentru fiecare dimensiune discretă) sau un vector (sau o matrice) de (n-1) dimensiuni de acumulatori.

În unele dintre aceste cazuri, dimensiunile discrete ale datelor de eșantionat și de rotunjit pot fi tratate în mod neortodox: de exemplu, atunci când se lucrează cu imagini colorate, datele planurilor trichromatice de culoare în fiecare dimensiune fizică (înălțime, lățime și, opțional, timp) ar putea fi refăcute folosind un model de culoare perceptivă, astfel încât acumulatorii de erori de rotunjire să fie concepuți pentru a păstra luminozitatea cu o probabilitate mai mare decât nuanța sau saturația, în loc să propage erorile în fiecare plan de culoare ortogonal în mod independent; iar în cazul datelor audio stereofonice, cele două canale de date rotunjite (stânga și dreapta) pot fi rotunjite împreună pentru a păstra valoarea lor medie cu prioritate față de diferența lor efectivă, care va absorbi majoritatea erorilor de rotunjire rămase, într-un mod echilibrat în jurul valorii zero.

În unele contexte, este de dorit să se rotunjească un număr x la o fracție "curată" - adică la cea mai apropiată fracție z = m/n al cărei numărător m și numitor n nu depășesc un anumit maxim. Această problemă este destul de diferită de cea a rotunjirii unei valori la un număr fix de cifre zecimale sau binare, sau la un multiplu al unei unități date m. Această problemă este legată de secvențele Farey, de arborele Stern-Brocot și de fracțiile continue.

Acest tip de rotunjire, care se mai numește și rotunjire la o scară logaritmică, este o variantă a rotunjirii la un increment specificat, dar cu un increment care se modifică în funcție de scara și mărimea rezultatului. Concret, intenția este de a limita numărul de cifre semnificative, rotunjind valoarea astfel încât cifrele nesemnificative să fie eliminate. Acest tip de rotunjire apare implicit în cazul numerelor calculate cu valori în virgulă mobilă cu precizie limitată (cum ar fi tipurile IEEE-754 float și double), dar poate fi utilizat în general pentru a rotunji orice valori reale cu orice număr pozitiv de cifre semnificative și orice bază reală strict pozitivă.

De exemplu, poate fi utilizat în grafica inginerească pentru reprezentarea datelor cu o scală logaritmică cu trepte variabile (de exemplu, lungimile de undă, a căror bază nu este neapărat o măsură întreagă) sau în datele statistice pentru a defini clase de valori reale în cadrul unor intervale cu lățimi care cresc exponențial (dar cea mai frecventă utilizare este cu baze întregi, cum ar fi 10 sau 2).

Acest tip de rotunjire se bazează pe o scală logaritmică definită de un factor de scalare real fix, diferit de zero, s (în cele mai frecvente cazuri, acest factor este s=1) și o bază fixă pozitivă b>1 (nu neapărat un număr întreg și cel mai adesea diferită de factorul de scalare), precum și un număr întreg fix n>0 de cifre semnificative în această bază (care va determina valoarea incrementului care trebuie utilizat pentru rotunjire, împreună cu scara efectivă calculată a numărului rotunjit).

Numărul argument principal (precum și numărul rotunjit rezultat) este mai întâi reprezentat în notație exponențială x = s-a-m-b^c , astfel încât semnul s este fie +1, fie -1, mantaxa absolută a este limitată la intervalul pozitiv semideschis [1/b,1], iar exponentul c este orice număr întreg (pozitiv sau negativ). În această reprezentare, toate cifrele semnificative se află în partea fracționară a mantissei absolute a cărei parte întreagă este întotdeauna zero.

Dacă numărul sursă (sau numărul rotunjit) este 0, mantisa absolută a este definită ca fiind 0, exponentul c este fixat la o valoare arbitrară (0 în majoritatea convențiilor, dar unele reprezentări în virgulă mobilă nu pot utiliza o mantisă absolută nulă, ci rezervă o valoare negativă maximă specifică pentru exponentul c pentru a reprezenta numărul 0 însuși), iar semnul s poate fi ales în mod arbitrar între -1 sau +1 (în general, este fixat la +1 pentru zero simplu, sau este fixat la același semn ca și argumentul în valoare rotunjită dacă reprezentarea numerică permite diferențierea zerourilor pozitive și negative, chiar dacă acestea reprezintă în final aceeași valoare numerică 0).

O reprezentare exponențială scalară ca x = a-s-b^c poate fi, de asemenea, utilizată în mod echivalent, cu o mantisă cu semn a fie egală cu zero, fie cuprinsă într-unul dintre cele două intervale semideschise (-1,-1/b] și [+1/b,+1), iar acesta va fi cazul în algoritmul de mai jos.

Etapele de calcul al acestei rotunjiri la scară sunt, în general, similare cu cele de mai jos:

1. dacă x este egal cu zero, se returnează pur și simplu x; în caz contrar:
2. convertește x în reprezentarea exponențială scalară, cu o mantisă cu semn:
   x = a ⋅ ⋅ s ⋅ b c {\displaystyle x=a\cdot s\cdot b^{c}\,}
1. să fie x' valoarea neeșalonată a lui x, prin împărțirea acesteia la factorul de scalare s:
   x ′ = x / s {\displaystyle x'=x/s\,} ;
2. exponentul de scalare c să fie unu plus logaritmul de bază-b al valorii absolute a lui x', rotunjit la un număr întreg (spre minus infinit):
   c = 1 + ⌊ log b | x ′ | ⌋ = 1 + ⌊ log b | x / s | ⌋ {\displaystyle c=1+\left\lfloor \log _{b}\left|x'\right|\right\rfloor =1+\left\lfloor \log _{b}\left|x/s\right|\right\rfloor \,} ;
3. mantisa semnată a să fie produsul lui x' împărțit la b la puterea c:
   a = x ′ ⋅ b - c = x / s ⋅ b - c {\displaystyle a=x'\cdot b^{-c}=x/s\cdot b^{-c}\,}
3. calculează valoarea rotunjită în această reprezentare:
1. să fie c' exponentul inițial de scalare c al lui x':
   c ′ = c {\displaystyle c'=c\,}
2. fie m incrementul pentru rotunjirea mantissei a în funcție de numărul de cifre semnificative care trebuie păstrate:
   m = b - n {\displaystyle m=b^{-n}\,}
3. fie a' mantisa cu semn a rotunjită în funcție de acest increment m și de modul de rotunjire selectat:
   a ′ = r o u n d ( a , m ) = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ b - n {\displaystyle a'=\mathrm {round} (a,m)=\mathrm {round} (x/s\cdot b^{n-c'})\cdot b^{-n}\,}
4. dacă valoarea absolută a lui a' nu este mai mică decât b, atunci se descrește n (se înmulțește incrementul m cu b), se incrementează exponentul de scalare c', se împarte mantisa semnată a cu b și se reia rotunjirea noii mantise semnate a în a' cu aceeași formulă; acest pas poate fi evitat numai dacă funcția abtract "round()" rotunjește întotdeauna a spre 0 (adică.adică atunci când este vorba de o simplă trunchiere), dar este necesară în cazul în care este posibil ca aceasta să rotunjească a spre infinit, deoarece mantisa rotunjită poate avea un exponent de scalare mai mare în acest caz, lăsând o cifră de precizie în plus.
4. returnează valoarea rotunjită:
   y = s c a l e d r o u n d ( x , s , b , n ) = a ′ ⋅ s ⋅ b c ′ = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ s ⋅ b c ′ - n {\displaystyle y=\mathrm {scaledround} (x,s,b,n)=a'\cdot s\cdot b^{c'}=\mathrm {round} (x/s\cdot b^{n-c'})\cdot s\cdot b^{c'-n}\,} .

În cazul funcției abstracte "round()", acest tip de rotunjire poate utiliza oricare dintre modurile de rotunjire la numere întregi descrise mai detaliat în secțiunea următoare, dar cel mai frecvent este vorba de modul de rotunjire la cel mai apropiat (cu reguli de departajare descrise, de asemenea, mai detaliat mai jos).

De exemplu:

• rotunjirea scalară a valorii 1,234 cu factorul de scalare 1 în baza 10 și 3 cifre semnificative (precizie relativă maximă=1/1000), atunci când se utilizează orice mod de rotunjire la cea mai apropiată valoare, va returna 1,23;
• o rotunjire similară la scară de 1,236 va returna 1,24;
• o rotunjire similară la scară de 21,236 va returna 21,2;
• o rotunjire similară la scară de 321.236 va returna 321;
• rotunjirea scalară a factorului de scalare 1.234 în baza 10 și 3 cifre semnificative (precizie relativă maximă=1/1000), atunci când se utilizează modul de rotunjire în jos, va returna 1.23;
• o rotunjire similară la scară de 1,236 va returna, de asemenea, 1,23;
• rotunjirea la scară a 3 π / 7 ≈ 6,8571 ⋅ π ⋅ 2 - 4 {\displaystyle \scriptstyle 3\pi /7\;\approx \;6.8571\cdot \cdot \cdot 2^{-4}} cu factorul de scalare π {\displaystyle \scriptstyle \pi } în baza 2 și 3 cifre semnificative (precizie relativă maximă=1/8), atunci când se utilizează modul de rotunjire în jos, va returna 6 ⋅ π ⋅ 2 - 4 = 3 π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 6\cdot \cdot \cdot 2^{-4}\;=\;3\pi /8} ;
• rotunjire similară la scară de 5 π / 7 ≈ 5,7143 ⋅ π ⋅ 2 - 3 {\displaystyle \scriptstyle 5\pi /7\;\approx \;5.7143\cdot \pi \cdot \cdot 2^{-3}} va returna 5 ⋅ π ⋅ 2 - 3 = 5 π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 5\cdot \cdot \cdot \cdot 2^{-3}\;=\;5\pi /8} ;
• o rotunjire la scară similară a lui π / 7 ≈ 4,5714 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {\displaystyle \scriptstyle \pi /7\;\approx \;4.5714\cdot \pi \cdot \cdot 2^{-5}} va returna 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 4\cdot \pi \cdot \cdot 2^{-5}\;=\;\pi /8} .
• o rotunjire la scară similară a lui π / 8 = 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {\displaystyle \scriptstyle \pi /8\;=\;4\cdot \pi \cdot 2^{-5}} va returna, de asemenea, 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 4\cdot \pi \cdot 2^{-5}\;=\;\pi /8} .
• o rotunjire la scară similară a lui π / 15 ≈ 4,2667 ⋅ π ⋅ 2 - 6 {\displaystyle \scriptstyle \pi /15\;\approx \;4.2667\cdot \pi \cdot 2^{-6}} va returna 4 ⋅ π ⋅ 2 - 6 = π / 16 {\displaystyle \scriptstyle 4\cdot \pi \cdot 2^{-6}\;=\;\pi /16}} .

Lemnul finisat, hârtia de scris, condensatorii și multe alte produse sunt, de obicei, vândute doar în câteva dimensiuni standard.

Multe proceduri de proiectare descriu modul de calcul al unei valori aproximative și apoi "rotunjesc" la o anumită dimensiune standard, folosind expresii precum "rotunjire în jos la cea mai apropiată valoare standard", "rotunjire în sus la cea mai apropiată valoare standard" sau "rotunjire la cea mai apropiată valoare standard".

Atunci când un set de valori preferate este distanțat în mod egal pe o scară logaritmică, alegerea celei mai apropiate valori preferate de orice valoare dată poate fi considerată un fel de rotunjire la scară. Astfel de valori "rotunjite" pot fi calculate direct.

În aritmetica în virgulă mobilă, rotunjirea are ca scop transformarea unei valori date x într-o valoare z cu un număr specificat de cifre semnificative. Cu alte cuvinte, z ar trebui să fie un multiplu al unui număr m care depinde de mărimea lui z. Numărul m este o putere a bazei (de obicei 2 sau 10) a formei în virgulă mobilă.

În afară de acest detaliu, toate variantele de rotunjire discutate mai sus se aplică și la rotunjirea numerelor în virgulă mobilă. Algoritmul pentru o astfel de rotunjire este prezentat în secțiunea Rotunjire scalară de mai sus, dar cu un factor de scalare constant s=1 și o bază întreagă b>1.

Pentru rezultatele în cazul în care rezultatul rotunjit ar fi depășit, rezultatul unei rotunjiri direcționate este fie infinitul cu semn corespunzător, fie cel mai mare număr finit pozitiv reprezentabil (sau cel mai mic număr finit negativ reprezentabil dacă x este negativ), în funcție de direcția de rotunjire. Rezultatul unei depășiri pentru cazul obișnuit de rotunjire la par este întotdeauna infinitul corespunzător.

În plus, în cazul în care rezultatul rotunjit ar fi sub limita de umplere, adică. dacă exponentul ar depăși cea mai mică valoare întreagă reprezentabilă, rezultatul efectiv poate fi fie zero (eventual cu semn, dacă reprezentarea poate menține o distincție de semne pentru zerouri), fie cel mai mic număr finit pozitiv reprezentabil (sau cel mai mare număr finit negativ reprezentabil dacă x este negativ), eventual un număr denormal pozitiv sau negativ (dacă mantisa stochează toate cifrele sale semnificative, caz în care cifra cea mai semnificativă poate fi totuși stocată într-o poziție inferioară prin stabilirea la zero a celor mai înalte cifre stocate, iar această mantisă stocată nu renunță la cifra cea mai semnificativă, lucru care este posibil atunci când baza b=2, deoarece cifra cea mai semnificativă este întotdeauna 1 în această bază), în funcție de direcția de rotunjire. Rezultatul unei scăderi pentru cazul obișnuit de rotunjire la par este întotdeauna zeroul corespunzător.

Rotunjirea unui număr de două ori la rând la diferite precizii, ultima precizie fiind mai grosieră, nu garantează că va da același rezultat ca și rotunjirea o singură dată la precizia finală, cu excepția cazului rotunjirilor direcționate. De exemplu, dacă se rotunjește 9,46 la o zecimală, se obține 9,5 și apoi 10 atunci când se rotunjește la un număr întreg utilizând rotunjirea la jumătate la par, dar ar da 9 atunci când se rotunjește direct la un număr întreg.

Unele limbaje de calculator și standardul IEEE 754-2008 prevăd că, în calculele simple, rezultatul nu trebuie rotunjit de două ori. Acest lucru a reprezentat o problemă deosebită în cazul Java, deoarece acesta este conceput pentru a fi rulat în mod identic pe mașini diferite, fiind necesară utilizarea unor trucuri speciale de programare pentru a obține acest lucru cu virgulă mobilă x87. Limbajul Java a fost modificat pentru a permite rezultate diferite în cazul în care diferența nu contează și pentru a impune utilizarea unui calificativ "strictfp" atunci când rezultatele trebuie să fie conforme cu exactitate.

Este posibil să se utilizeze aritmetica rotunjită pentru a evalua valoarea exactă a unei funcții cu un domeniu și un interval discret. De exemplu, dacă știm că un număr întreg n este un pătrat perfect, putem calcula rădăcina sa pătrată convertind n într-o valoare în virgulă mobilă x, calculând rădăcina pătrată aproximativă y a lui x cu virgulă mobilă și apoi rotunjind y la cel mai apropiat număr întreg q. Dacă n nu este prea mare, eroarea de rotunjire în virgulă mobilă a lui y va fi mai mică de 0,5, astfel încât valoarea rotunjită q va fi rădăcina pătrată exactă a lui n. În cele mai multe calculatoare moderne, această metodă poate fi mult mai rapidă decât calcularea rădăcinii pătrate a lui n printr-un algoritm cu numere întregi.

William Kahan a inventat termenul de "Dilema tablelor" pentru costul necunoscut al rotunjirii funcțiilor transcendentale:

"Nimeni nu știe cât ar costa să calculeze y^w corect rotunjit pentru fiecare două argumente în virgulă mobilă la care nu se depășește/subdepășește. În schimb, bibliotecile matematice de renume calculează funcțiile transcendentale elementare de cele mai multe ori cu puțin mai mult de o jumătate de ulp și aproape întotdeauna bine în limita unui ulp. De ce nu poate fi rotunjit Y^W în limita a jumătate de ulp, ca și SQRT? Pentru că nimeni nu știe cât de mult ar costa calculul... Nu există nicio modalitate generală de a prezice câte cifre suplimentare vor trebui să fie transportate pentru a calcula o expresie transcendentală și pentru a o rotunji corect la un număr de cifre prestabilit. Chiar și faptul (dacă este adevărat) că un număr finit de cifre suplimentare va fi în cele din urmă suficient poate fi o teoremă profundă."

Standardul IEEE pentru virgulă mobilă garantează că adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, rădăcina pătrată și restul în virgulă mobilă vor da rezultatul corect rotunjit al operației de precizie infinită. Cu toate acestea, nu se oferă o astfel de garanție pentru funcțiile mai complexe, iar acestea sunt de obicei precise doar până la ultimul bit, în cel mai bun caz.

Utilizând teorema Gelfond-Schneider și teorema Lindemann-Weierstrass, se poate demonstra că multe dintre funcțiile elementare standard pot returna rezultate transcendentale atunci când li se dau argumente raționale diferite de zero; prin urmare, este întotdeauna posibilă rotunjirea corectă a acestor funcții. Cu toate acestea, determinarea unei limite pentru o anumită precizie a rezultatelor exacte care trebuie calculate înainte de a se garanta un rezultat rotunjit corect poate necesita mult timp de calcul.

În prezent, există unele pachete care oferă o precizie totală. Pachetul MPFR oferă rezultate de precizie arbitrară rotunjite corect. IBM a scris un pachet pentru funcții elementare IEEE rapide și precise, iar în viitor bibliotecile standard ar putea oferi o astfel de precizie.

Este posibil să se conceapă numere calculabile bine definite, dar care nu pot fi niciodată rotunjite corect, indiferent de câte cifre sunt calculate. De exemplu, dacă conjectura lui Goldbach este adevărată, dar imposibil de demonstrat, atunci este imposibil să se rotunjească corect 0,5 + 10^-n unde n este primul număr par mai mare decât 4 care nu este suma a două numere prime, sau 0,5 dacă nu există un astfel de număr. Acest lucru poate fi totuși aproximat cu orice precizie dată, chiar dacă conjectura este imposibil de demonstrat.

Conceptul de rotunjire este foarte vechi, poate chiar mai vechi decât conceptul de diviziune. Unele tăblițe antice de lut descoperite în Mesopotamia conțin tabele cu valori rotunjite ale reciprocelor și ale rădăcinilor pătrate în baza 60. Aproximațiile rotunjite ale lui π, ale lungimii anului și ale lungimii lunii sunt, de asemenea, vechi.

Metoda "rotund la egal" a servit drept standard ASTM (E-29) încă din 1940. Originea termenilor de rotunjire nepărtinitoare și rotunjire a statisticianului sunt destul de explicite. În ediția a 4-a din 1906 a cărții Probability and Theory of Errors, Robert Simpson Woodward a numit-o "regula calculatorului", indicând că era atunci folosită în mod obișnuit de calculatoarele umane care calculau tabele matematice. Lucrarea din 1947 a lui Churchill Eisenhart "Effects of Rounding or Grouping Data" (în Selected Techniques of Statistical Analysis, McGrawHill, 1947, Eisenhart, Hastay și Wallis, editori) indica faptul că această practică era deja "bine stabilită" în analiza datelor.

Originea termenului "rotunjirea bancherilor" rămâne mai obscură. Dacă această metodă de rotunjire a fost vreodată un standard în domeniul bancar, dovezile s-au dovedit a fi extrem de greu de găsit. Dimpotrivă, secțiunea 2 din raportul Comisiei Europene "Introducerea monedei euro și rotunjirea sumelor în valută" sugerează că nu a existat anterior nicio abordare standard de rotunjire în sectorul bancar și specifică faptul că sumele "la jumătate" ar trebui rotunjite în sus.

Până în anii 1980, metoda de rotunjire utilizată în aritmetica calculatoarelor cu virgulă mobilă era, de obicei, fixată de hardware, slab documentată, inconsecventă și diferită pentru fiecare marcă și model de calculator. Această situație s-a schimbat după ce standardul IEEE 754 pentru virgulă mobilă a fost adoptat de majoritatea producătorilor de calculatoare. Standardul permite utilizatorului să aleagă între mai multe moduri de rotunjire și, în fiecare caz, specifică exact modul în care trebuie rotunjite rezultatele. Aceste caracteristici au făcut calculele numerice mai previzibile și mai independente de mașină și au făcut posibilă implementarea eficientă și consecventă a aritmeticii intervalelor.

Majoritatea limbajelor de programare oferă funcții sau o sintaxă specială pentru a rotunji numerele fracționare în diferite moduri. Cele mai vechi limbaje numerice, cum ar fi FORTRAN și C, ofereau o singură metodă, de obicei trunchierea (spre zero). Această metodă implicită ar putea fi implicită în anumite contexte, cum ar fi atunci când se atribuie un număr fracționar unei variabile întregi sau când se utilizează un număr fracționar ca index al unei matrice. Alte tipuri de rotunjire trebuiau să fie programate în mod explicit; de exemplu, rotunjirea unui număr pozitiv la cel mai apropiat număr întreg putea fi implementată prin adăugarea a 0,5 și trunchierea.

Cu toate acestea, în ultimele decenii, sintaxa și/sau bibliotecile standard ale celor mai multe limbaje au furnizat cel puțin patru funcții de bază de rotunjire (sus/plafon, jos/podea, la cea mai apropiată valoare și spre zero). Metoda de departajare poate varia în funcție de limbaj și versiune și/sau poate fi selectabilă de către programator. Mai multe limbaje urmează exemplul standardului IEEE-754 privind virgulă mobilă și definesc aceste funcții ca fiind cele care iau un argument float de precizie dublă și returnează rezultatul de același tip, care poate fi apoi convertit în număr întreg, dacă este necesar. Deoarece formatul de dublă precizie IEEE are 52 de biți de fracție, această abordare poate evita depășirile de valoare în limbaje care au numere întregi pe 32 de biți. Unele limbaje, cum ar fi PHP, oferă funcții care rotunjesc o valoare la un număr specificat de cifre zecimale, de exemplu, de la 4321,5678 la 4321,57 sau 4300. În plus, multe limbaje oferă o funcție "printf" sau o funcție similară de formatare a șirurilor de caractere, care permite convertirea unui număr fracționar într-un șir de caractere, rotunjit la un număr de zecimale specificat de utilizator (precizia). Pe de altă parte, trunchierea (rotunjirea la zero) este încă metoda de rotunjire implicită utilizată de multe limbaje, în special pentru împărțirea a două valori întregi.

Dimpotrivă, CSS și SVG nu definesc nicio precizie maximă specifică pentru numere și măsurători, care sunt tratate și expuse în modelul lor de obiect al documentului și în interfața limbajului de descriere a interfeței ca șiruri de caractere ca și cum ar avea o precizie infinită și nu fac distincție între numere întregi și valori cu virgulă mobilă; cu toate acestea, implementările acestor limbaje vor converti, de obicei, aceste numere în virgulă mobilă dublă IEEE-754 înainte de a expune cifrele calculate cu o precizie limitată (în special în cadrul legăturilor de interfață standard Javascript sau ECMAScript).

Unele discipline sau instituții au emis standarde sau directive privind rotunjirea.

Observații meteorologice din SUA

Într-un ghid emis la mijlocul anului 1966, Biroul coordonatorului federal pentru meteorologie din SUA a stabilit că datele meteorologice trebuie rotunjite la cel mai apropiat număr rotund, cu regula de departajare "rotunjire la jumătate". De exemplu, 1,5 rotunjit la un număr întreg ar trebui să devină 2, iar -1,5 ar trebui să devină -1. Înainte de această dată, regula de departajare era "rotunjirea la jumătate față de zero".

Zero negativ în meteorologie

Unii meteorologi pot scrie "-0" pentru a indica o temperatură între 0,0 și -0,5 grade (exclusiv) care a fost rotunjită la un număr întreg. Această notație este utilizată atunci când semnul negativ este considerat important, indiferent cât de mică este magnitudinea; de exemplu, la rotunjirea temperaturilor pe scara Celsius, unde sub zero indică îngheț.

• Precizia aritmetică