O teoremă este o idee demonstrată în matematică. Teoremele sunt demonstrate folosind logica și alte teoreme care au fost deja demonstrate. O teoremă pe care cineva trebuie să o demonstreze pentru a putea demonstra o altă teoremă se numește lemă. Teoremele sunt alcătuite din două părți, există ipoteze și concluzii.
Teoremele utilizează deducția, spre deosebire de teoriile care sunt empirice.
Unele teoreme sunt triviale, ele rezultă direct din propoziții. Alte teoreme sunt numite "profunde", demonstrarea lor este lungă și dificilă. Uneori, astfel de demonstrații implică alte domenii ale matematicii sau arată conexiuni între diferite domenii. O teoremă poate fi simplu de enunțat și totuși să fie profundă. Un exemplu excelent este ultima teoremă a lui Fermat și există multe alte exemple de teoreme simple, dar profunde, în teoria numerelor și combinatorică, printre alte domenii.
Există și alte teoreme pentru care se cunoaște o demonstrație, dar care nu poate fi scrisă cu ușurință. Printre cele mai bune exemple se numără teorema celor patru culori și conjectura lui Kepler. Ambele teoreme sunt cunoscute ca fiind adevărate doar prin reducerea lor la o căutare computațională, care este apoi verificată de un program de calculator. La început, mulți matematicieni nu au acceptat această formă de demonstrație, dar în ultimii ani a devenit mai larg acceptată. Matematicianul Doron Zeilberger a mers chiar atât de departe încât a afirmat că este posibil ca acestea să fie singurele rezultate non-triviale pe care matematicienii le-au demonstrat vreodată. Multe teoreme matematice pot fi reduse la un calcul mai simplu, inclusiv identitățile polinomiale, identitățile trigonometrice și identitățile hipergeometrice.
