Numere naturale
Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim în mod normal pentru numărare: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. Unii oameni spun că și 0 este un număr natural. Ansamblul tuturor numerelor naturale se scrie N {\displaystyle \mathbb {N}. } 
.
Un alt nume pentru aceste numere este numere pozitive. Aceste numere sunt uneori scrise cu +1 pentru a arăta că sunt diferite de numerele negative. Dar nu toate numerele pozitive sunt naturale (de exemplu, 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
este pozitiv, dar nu este natural).
Dacă 0 este numit număr natural, atunci numerele naturale sunt aceleași cu numerele întregi. Dacă 0 nu se numește număr natural, atunci numerele naturale sunt identice cu numerele de numărat. Prin urmare, dacă nu se folosesc cuvintele "numere naturale", atunci va exista mai puțină confuzie cu privire la includerea sau nu a lui zero. Dar, din păcate, unii spun că zero nu este un număr întreg, în timp ce alții spun că numerele întregi pot fi negative. "Numerele întregi pozitive" și "numere întregi nenegative" sunt o altă modalitate de a include zero sau de a exclude zero, dar numai dacă oamenii cunosc aceste cuvinte.
Numere negative
Numerele negative sunt numere mai mici decât zero.
Un mod de a vă gândi la numerele negative este de a folosi o linie numerică. Un punct de pe această linie se numește zero. Apoi vom eticheta (vom scrie numele) fiecare poziție de pe linie în funcție de cât de departe este la dreapta punctului zero. De exemplu, punctul unu este la un centimetru spre dreapta, iar punctul doi este la doi centimetri spre dreapta.
Cu toate acestea, punctul aflat la un centimetru în stânga punctului zero nu poate fi punctul unu, deoarece există deja un punct numit unu. Prin urmare, numim acest punct minus unu (-1, deoarece se află la un centimetru distanță, dar în direcția opusă).
Mai jos este prezentat un desen al unei linii numerice.
Toate operațiile normale ale matematicii pot fi efectuate cu numere negative:
- Adăugarea unui număr negativ la un alt număr este același lucru cu scăderea numărului pozitiv cu aceleași cifre. De exemplu, 5 + (-3) este același lucru cu 5 - 3 și este egal cu 2.
- A scădea un număr negativ din altul este același lucru cu a adăuga numărul pozitiv cu aceleași cifre. De exemplu, 5 - (-3) este același lucru cu 5 + 3 și este egal cu 8.
- Înmulțirea a două numere negative produce un număr pozitiv. De exemplu, -5 înmulțit cu -3 face 15.
- Înmulțirea unui număr negativ cu un număr pozitiv, sau înmulțirea unui număr pozitiv cu un număr negativ, produce un rezultat negativ. De exemplu, 5 ori -3 este -15.
Deoarece găsirea rădăcinii pătrate a unui număr negativ este imposibilă în cazul numerelor reale (deoarece negativ înmulțit cu negativ este egal cu pozitiv în cazul numerelor reale), rădăcina pătrată a lui -1 primește un nume special: i. Aceasta se mai numește și unitatea imaginară.
Întregi
Numerele întregi sunt toate numerele naturale, toate opusele lor și numărul zero. Numerele zecimale și fracțiile nu sunt numere întregi.
Numere raționale
Numerele raționale sunt numere care pot fi scrise ca fracții. Aceasta înseamnă că pot fi scrise ca a împărțit la b, unde a și b sunt numere întregi, iar b nu este zero.
Unele numere raționale, cum ar fi 1/10, au nevoie de un număr finit de cifre după virgulă pentru a le scrie în formă zecimală. Numărul o zecime se scrie în formă zecimală ca 0,1. Numerele scrise cu o formă zecimală finită sunt raționale. Unele numere raționale, cum ar fi 1/11, au nevoie de un număr infinit de cifre după virgulă pentru a fi scrise în formă zecimală. Există un model repetitiv al cifrelor care urmează după punctul zecimal. Numărul 1/11 se scrie în formă zecimală sub forma 0,090909090909 ... .
Un procent poate fi numit număr rațional, deoarece un procent precum 7% poate fi scris ca fracția 7/100. De asemenea, poate fi scris sub forma zecimală 0,07. Uneori, un raport este considerat ca fiind un număr rațional.
Numere iraționale
Numerele iraționale sunt numere care nu pot fi scrise sub formă de fracție, dar care nu au părți imaginare (explicate mai târziu).
Numerele iraționale apar adesea în geometrie. De exemplu, dacă avem un pătrat care are laturile de 1 metru, distanța dintre colțurile opuse este rădăcina pătrată a doi, care este egală cu 1,414213 ... . Acesta este un număr irațional. Matematicienii au demonstrat că rădăcina pătrată a fiecărui număr natural este fie un număr întreg, fie un număr irațional.
Un număr irațional bine cunoscut este pi. Acesta reprezintă circumferința (distanța în jurul) unui cerc împărțită la diametrul acestuia (distanța în jurul). Acest număr este același pentru fiecare cerc. Numărul pi este de aproximativ 3,1415926535 ... .
Un număr irațional nu poate fi scris în întregime în formă zecimală. Acesta ar avea un număr infinit de cifre după virgulă și, spre deosebire de 0,333333 ..., aceste cifre nu s-ar repeta la nesfârșit.
Numere reale
Numerele reale este un nume pentru toate seturile de numere enumerate mai sus:
- Numerele raționale, inclusiv numerele întregi
- Numerele iraționale
Numerele reale formează linia reală. Aceasta reprezintă toate numerele care nu implică numere imaginare.
Numere imaginare
Numerele imaginare sunt formate din numere reale înmulțite cu numărul i. Acest număr este rădăcina pătrată a lui minus unu (-1).
Nu există nici un număr din numerele reale care, atunci când este ridicat la pătrat, face ca numărul să fie -1. Prin urmare, matematicienii au inventat un număr. Ei au numit acest număr i, sau unitatea imaginară.
Numerele imaginare funcționează după aceleași reguli ca și numerele reale:
- Suma a două numere imaginare se obține prin extragerea (factorizarea) lui i. De exemplu, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
- Diferența a două numere imaginare se găsește în mod similar. De exemplu, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
- La înmulțirea a două numere imaginare, amintiți-vă că i × i (i2 ) este -1. De exemplu, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.
Numerele imaginare au fost numite așa pentru că, atunci când au fost descoperite, mulți matematicieni nu credeau că ele există. Persoana care a descoperit numerele imaginare a fost Gerolamo Cardano în anii 1500. Primul care a folosit cuvintele număr imaginar a fost René Descartes. Primele persoane care au folosit aceste numere au fost Leonard Euler și Carl Friedrich Gauss. Ambii au trăit în secolul al XVIII-lea.
Numere complexe
Numerele complexe sunt numere care au două părți: o parte reală și o parte imaginară. Fiecare tip de număr scris mai sus este, de asemenea, un număr complex.
Numerele complexe sunt o formă mai generală de numere. Numerele complexe pot fi desenate pe un plan numeric. Acesta este compus dintr-o dreaptă a numerelor reale și o dreaptă a numerelor imaginare.
3i|_ | | | 2i|_ . 2+2i | | | i|_ | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2-2i -2i|_ | | | -3i|_ | | -3i|_ |
Toate calculele matematice normale pot fi efectuate cu numere complexe:
- Pentru a aduna două numere complexe, adăugați separat partea reală și cea imaginară. De exemplu, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
- Pentru a scădea un număr complex dintr-un altul, se scad separat părțile reale și imaginare. De exemplu, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.
Înmulțirea a două numere complexe este mai complicată. Cel mai simplu este să o descriem în termeni generali, cu două numere complexe a + bi și c + di.
( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} } 
De exemplu, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.
Numere transcendentale
Un număr real sau complex se numește număr transcendental dacă nu poate fi obținut ca rezultat al unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi.
a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} 
Demonstrarea faptului că un anumit număr este transcendental poate fi extrem de dificilă. Fiecare număr transcendental este, de asemenea, un număr irațional. Primii oameni care au observat că există numere transcendentale au fost Gottfried Wilhelm Leibniz și Leonhard Euler. Primul care a demonstrat efectiv că există numere transcendentale a fost Joseph Liouville. El a făcut acest lucru în 1844.
Printre numerele transcendentale bine cunoscute se numără:
- e
- π
- ea pentru algebrică a ≠ 0
- 2 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}}
