Număr | un concept din matematică, folosit pentru a număra sau măsura

Metode de numerotare

Numere pentru oameni

Există diferite moduri de a atribui simboluri numerelor. Aceste metode se numesc sisteme numerice. Cel mai comun sistem de numerație folosit de oameni este sistemul de numerație în baza zece. Sistemul numeric de bază zece se mai numește și sistemul numeric zecimal. Sistemul numeric de bază zece este comun deoarece oamenii au zece degete la mâini și zece la picioare. Există 10 simboluri diferite {0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9} utilizate în sistemul numeric de bază zece. Aceste zece simboluri se numesc cifre.

Simbolul unui număr este alcătuit din aceste zece cifre. Poziția cifrelor arată cât de mare este numărul. De exemplu, numărul 23 în sistemul de numerație zecimal înseamnă de fapt (2 ori 10) plus 3. În mod similar, 101 înseamnă de 1 ori o sută (=100) plus 0 ori 10 (=0) plus 1 ori 1 (=1).

Numere pentru mașini

Un alt sistem de numere este mai frecvent pentru mașini. Sistemul numeric pentru mașini se numește sistem numeric binar. Sistemul numeric binar se mai numește și sistemul numeric în baza doi. Există două simboluri diferite (0 și 1) utilizate în sistemul numeric de bază doi. Aceste două simboluri se numesc biți.

Un simbol pentru un număr binar este alcătuit din aceste două simboluri de biți. Poziția simbolurilor de biți arată cât de mare este numărul. De exemplu, numărul 10 în sistemul binar de numerație înseamnă de fapt 1 ori 2 plus 0, iar 101 înseamnă 1 ori patru (=4) plus 0 ori doi (=0) plus 1 ori 1 (=1). Numărul binar 10 este același cu numărul zecimal 2. Numărul binar 101 este același cu numărul zecimal 5.

 

Nume de numere

Engleza are denumiri speciale pentru unele dintre numerele din sistemul zecimal care sunt "puteri ale lui zece". Toate aceste puteri ale lui zece din sistemul numeric zecimal folosesc doar simbolul "1" și simbolul "0". De exemplu, zece zeci este același lucru cu zece ori zece, sau o sută. În simboluri, aceasta este "10 × 10 = 100". De asemenea, zece sute este același lucru cu zece ori o sută, sau o mie. În simboluri, aceasta este "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Alte puteri ale lui zece au, de asemenea, denumiri speciale:

• 1 - unu
• 10 - zece
• 100 - o sută
• 1,000 - o mie
• 1.000.000 - un milion

Atunci când este vorba de numere mai mari decât acesta, există două moduri diferite de a denumi numerele în limba engleză. În cadrul "scalei lungi", se dă un nou nume de fiecare dată când numărul este de un milion de ori mai mare decât ultimul număr numit. Se mai numește și "standardul britanic". Această scală era obișnuită în Marea Britanie, dar nu este folosită des în prezent în țările vorbitoare de limba engleză. Ea este încă folosită în alte câteva națiuni europene.

O altă scală este "scara scurtă", în cadrul căreia se dă un nou nume de fiecare dată când un număr este de o mie de ori mai mare decât ultimul număr numit. Această scală este mult mai răspândită în prezent în majoritatea națiunilor vorbitoare de limba engleză.

• 1.000.000.000.000 - un miliard (scara scurtă), un miliard (scara lungă)
• 1.000.000.000.000.000 - un trilion (scara scurtă), un miliard (scara lungă)
• 1.000.000.000.000.000.000 - un cvadrilion (scara scurtă), un biliard (scara lungă)

 

Tipuri de numere

Numere naturale

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim în mod normal pentru numărare: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc. Unii oameni spun că și 0 este un număr natural. Ansamblul tuturor numerelor naturale se scrie N {\displaystyle \mathbb {N}. } .

Un alt nume pentru aceste numere este numere pozitive. Aceste numere sunt uneori scrise cu +1 pentru a arăta că sunt diferite de numerele negative. Dar nu toate numerele pozitive sunt naturale (de exemplu, 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} este pozitiv, dar nu este natural).

Dacă 0 este numit număr natural, atunci numerele naturale sunt aceleași cu numerele întregi. Dacă 0 nu se numește număr natural, atunci numerele naturale sunt identice cu numerele de numărat. Prin urmare, dacă nu se folosesc cuvintele "numere naturale", atunci va exista mai puțină confuzie cu privire la includerea sau nu a lui zero. Dar, din păcate, unii spun că zero nu este un număr întreg, în timp ce alții spun că numerele întregi pot fi negative. "Numerele întregi pozitive" și "numere întregi nenegative" sunt o altă modalitate de a include zero sau de a exclude zero, dar numai dacă oamenii cunosc aceste cuvinte.

Numere negative

Numerele negative sunt numere mai mici decât zero.

Un mod de a vă gândi la numerele negative este de a folosi o linie numerică. Un punct de pe această linie se numește zero. Apoi vom eticheta (vom scrie numele) fiecare poziție de pe linie în funcție de cât de departe este la dreapta punctului zero. De exemplu, punctul unu este la un centimetru spre dreapta, iar punctul doi este la doi centimetri spre dreapta.

Cu toate acestea, punctul aflat la un centimetru în stânga punctului zero nu poate fi punctul unu, deoarece există deja un punct numit unu. Prin urmare, numim acest punct minus unu (-1, deoarece se află la un centimetru distanță, dar în direcția opusă).

Mai jos este prezentat un desen al unei linii numerice.

Toate operațiile normale ale matematicii pot fi efectuate cu numere negative:

• Adăugarea unui număr negativ la un alt număr este același lucru cu scăderea numărului pozitiv cu aceleași cifre. De exemplu, 5 + (-3) este același lucru cu 5 - 3 și este egal cu 2.
• A scădea un număr negativ din altul este același lucru cu a adăuga numărul pozitiv cu aceleași cifre. De exemplu, 5 - (-3) este același lucru cu 5 + 3 și este egal cu 8.
• Înmulțirea a două numere negative produce un număr pozitiv. De exemplu, -5 înmulțit cu -3 face 15.
• Înmulțirea unui număr negativ cu un număr pozitiv, sau înmulțirea unui număr pozitiv cu un număr negativ, produce un rezultat negativ. De exemplu, 5 ori -3 este -15.

Deoarece găsirea rădăcinii pătrate a unui număr negativ este imposibilă în cazul numerelor reale (deoarece negativ înmulțit cu negativ este egal cu pozitiv în cazul numerelor reale), rădăcina pătrată a lui -1 primește un nume special: i. Aceasta se mai numește și unitatea imaginară.

Întregi

Numerele întregi sunt toate numerele naturale, toate opusele lor și numărul zero. Numerele zecimale și fracțiile nu sunt numere întregi.

Numere raționale

Numerele raționale sunt numere care pot fi scrise ca fracții. Aceasta înseamnă că pot fi scrise ca a împărțit la b, unde a și b sunt numere întregi, iar b nu este zero.

Unele numere raționale, cum ar fi 1/10, au nevoie de un număr finit de cifre după virgulă pentru a le scrie în formă zecimală. Numărul o zecime se scrie în formă zecimală ca 0,1. Numerele scrise cu o formă zecimală finită sunt raționale. Unele numere raționale, cum ar fi 1/11, au nevoie de un număr infinit de cifre după virgulă pentru a fi scrise în formă zecimală. Există un model repetitiv al cifrelor care urmează după punctul zecimal. Numărul 1/11 se scrie în formă zecimală sub forma 0,090909090909 ... .

Un procent poate fi numit număr rațional, deoarece un procent precum 7% poate fi scris ca fracția 7/100. De asemenea, poate fi scris sub forma zecimală 0,07. Uneori, un raport este considerat ca fiind un număr rațional.

Numere iraționale

Numerele iraționale sunt numere care nu pot fi scrise sub formă de fracție, dar care nu au părți imaginare (explicate mai târziu).

Numerele iraționale apar adesea în geometrie. De exemplu, dacă avem un pătrat care are laturile de 1 metru, distanța dintre colțurile opuse este rădăcina pătrată a doi, care este egală cu 1,414213 ... . Acesta este un număr irațional. Matematicienii au demonstrat că rădăcina pătrată a fiecărui număr natural este fie un număr întreg, fie un număr irațional.

Un număr irațional bine cunoscut este pi. Acesta reprezintă circumferința (distanța în jurul) unui cerc împărțită la diametrul acestuia (distanța în jurul). Acest număr este același pentru fiecare cerc. Numărul pi este de aproximativ 3,1415926535 ... .

Un număr irațional nu poate fi scris în întregime în formă zecimală. Acesta ar avea un număr infinit de cifre după virgulă și, spre deosebire de 0,333333 ..., aceste cifre nu s-ar repeta la nesfârșit.

Numere reale

Numerele reale este un nume pentru toate seturile de numere enumerate mai sus:

• Numerele raționale, inclusiv numerele întregi
• Numerele iraționale

Numerele reale formează linia reală. Aceasta reprezintă toate numerele care nu implică numere imaginare.

Numere imaginare

Numerele imaginare sunt formate din numere reale înmulțite cu numărul i. Acest număr este rădăcina pătrată a lui minus unu (-1).

Nu există nici un număr din numerele reale care, atunci când este ridicat la pătrat, face ca numărul să fie -1. Prin urmare, matematicienii au inventat un număr. Ei au numit acest număr i, sau unitatea imaginară.

Numerele imaginare funcționează după aceleași reguli ca și numerele reale:

• Suma a două numere imaginare se obține prin extragerea (factorizarea) lui i. De exemplu, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Diferența a două numere imaginare se găsește în mod similar. De exemplu, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• La înmulțirea a două numere imaginare, amintiți-vă că i × i (i² ) este -1. De exemplu, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Numerele imaginare au fost numite așa pentru că, atunci când au fost descoperite, mulți matematicieni nu credeau că ele există. Persoana care a descoperit numerele imaginare a fost Gerolamo Cardano în anii 1500. Primul care a folosit cuvintele număr imaginar a fost René Descartes. Primele persoane care au folosit aceste numere au fost Leonard Euler și Carl Friedrich Gauss. Ambii au trăit în secolul al XVIII-lea.

Numere complexe

Numerele complexe sunt numere care au două părți: o parte reală și o parte imaginară. Fiecare tip de număr scris mai sus este, de asemenea, un număr complex.

Numerele complexe sunt o formă mai generală de numere. Numerele complexe pot fi desenate pe un plan numeric. Acesta este compus dintr-o dreaptă a numerelor reale și o dreaptă a numerelor imaginare.

3i|_ | | | 2i|_ . 2+2i | | | i|_ | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2-2i -2i|_ | | | -3i|_ | | -3i|_ |

Toate calculele matematice normale pot fi efectuate cu numere complexe:

• Pentru a aduna două numere complexe, adăugați separat partea reală și cea imaginară. De exemplu, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Pentru a scădea un număr complex dintr-un altul, se scad separat părțile reale și imaginare. De exemplu, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Înmulțirea a două numere complexe este mai complicată. Cel mai simplu este să o descriem în termeni generali, cu două numere complexe a + bi și c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

De exemplu, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Numere transcendentale

Un număr real sau complex se numește număr transcendental dacă nu poate fi obținut ca rezultat al unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Demonstrarea faptului că un anumit număr este transcendental poate fi extrem de dificilă. Fiecare număr transcendental este, de asemenea, un număr irațional. Primii oameni care au observat că există numere transcendentale au fost Gottfried Wilhelm Leibniz și Leonhard Euler. Primul care a demonstrat efectiv că există numere transcendentale a fost Joseph Liouville. El a făcut acest lucru în 1844.

Printre numerele transcendentale bine cunoscute se numără:

• e
• π
• e^a pentru algebrică a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}}

 
√2 este irațional.  

Pagini conexe

• Numele numerelor în limba engleză