Număr complex
Un număr complex este un număr, dar este diferit de numerele obișnuite în multe feluri. Un număr complex este alcătuit folosind două numere combinate. Prima parte este un număr real. A doua parte a unui număr complex este un număr imaginar. Cel mai important număr imaginar se numește i {\displaystyle i} 
, definit ca un număr care va fi -1 atunci când este ridicat la pătrat ("ridicat la pătrat" înseamnă "înmulțit cu el însuși"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Toate celelalte numere imaginare sunt i {\displaystyle i} înmulțit cu un număr real, în același mod în care toate numerele reale pot fi considerate ca fiind 1 înmulțit cu un alt număr. Funcțiile aritmetice, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea, pot fi utilizate cu numere complexe. Acestea respectă, de asemenea, proprietățile comutative, asociative și distributive, la fel ca și numerele reale.
Numerele complexe au fost descoperite în timp ce se încerca rezolvarea unor ecuații speciale care conțin exponenți. Acestea au început să pună probleme reale pentru matematicieni. Ca o comparație, folosind numere negative, este posibil să se găsească x în ecuația a + x = b {\displaystyle a+x=b}
pentru toate valorile reale ale lui a și b, dar dacă sunt permise doar numere pozitive pentru x, este uneori imposibil să se găsească un x pozitiv, ca în ecuația 3 + x = 1.
În cazul exponențializării, există o dificultate care trebuie depășită. Nu există niciun număr real care să dea -1 atunci când este ridicat la pătrat. Cu alte cuvinte, -1 (sau orice alt număr negativ) nu are o rădăcină pătrată reală. De exemplu, nu există un număr real x {\displaystyle x}
care să rezolve ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Pentru a rezolva această problemă, matematicienii au introdus un simbol i și l-au numit număr imaginar. Acesta este numărul imaginar care va da -1 atunci când este ridicat la pătrat.
Primii matematicieni care s-au gândit la acest lucru au fost probabil Gerolamo Cardano și Raffaele Bombelli. Aceștia au trăit în secolul al XVI-lea. Probabil Leonhard Euler a fost cel care a introdus scrierea i {\displaystyle \mathrm {i} } 
pentru acest număr.
Toate numerele complexe pot fi scrise ca a + b i {\displaystyle a+bi}. 
(sau a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), unde a se numește partea reală a numărului, iar b se numește partea imaginară. Se scrie ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
sau Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
pentru partea reală a unui număr complex z {\displaystyle z}
. Astfel, dacă z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, scriem a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. În mod similar, scriem ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
sau Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
pentru partea imaginară a unui număr complex z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im}. (z)} 
, pentru același z. Orice număr real este, de asemenea, un număr complex; este un număr complex z cu ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Numărul complex poate fi scris, de asemenea, ca o pereche ordonată, (a, b). Atât a, cât și b sunt numere reale. Orice număr real poate fi scris simplu ca a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
sau ca perechea (a, 0).
Uneori, se scrie j {\displaystyle j}
în loc de i {\displaystyle i} . În electrotehnică, i {\displaystyle i} înseamnă curent electric. Scrierea i {\displaystyle i} poate cauza o mulțime de probleme deoarece unele numere din ingineria electrică sunt numere complexe.
Setul tuturor numerelor complexe este de obicei scris ca C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operații asupra numerelor complexe
Adăugarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, atâta timp cât divizorul nu este zero, și exponențierea (ridicarea numerelor la exponenți) sunt toate posibile cu numere complexe. Unele alte calcule sunt, de asemenea, posibile cu numere complexe.
Regula de adunare și scădere a numerelor complexe este destul de simplă:
Fie z = ( a + b i ), w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, atunci z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, și z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Înmulțirea este un pic diferită:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
O altă operație notabilă pentru numerele complexe este conjugarea. Un conjugat complex z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
al lui z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} este a - b i {\displaystyle a-bi}
. Este destul de simplu, dar este important pentru calcule, deoarece z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
aparține numerelor reale pentru toți complexii z {\displaystyle z} :
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}. 
.
Putem folosi acest lucru pentru a face împărțirea:
1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Alte forme de descriere a numerelor complexe
Numerele complexe pot fi reprezentate pe un așa-numit plan complex. Dacă aveți un număr z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , puteți merge la un punct de pe axa reală și la b de pe axa imaginară și să trasați un vector de la ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
la ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 
. Lungimea acestui vector poate fi calculată cu ajutorul teoremei lui Pitagora și a unghiului dintre axa reală pozitivă și acest vector, mergând în sens invers acelor de ceasornic. Lungimea unui vector pentru un număr z {\displaystyle z} se numește modulul său (scris ca | z | {\displaystyle |z|}
), iar unghiul se numește argumentul său ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Acest lucru conduce la forma trigonometrică de descriere a numerelor complexe: prin definițiile sinusului și cosinusului, pentru orice z {\displaystyle z} stă că
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Acest lucru este strâns legat de formula lui De Moivre.
Există chiar și o altă formă, numită formăexponențială.
Un număr complex poate fi prezentat vizual ca două numere care formează un vector pe o diagramă Argand, reprezentând planul complex.
Concluzie
Odată cu adăugarea numerelor complexe în matematică, fiecare polinom cu coeficienți complecși are rădăcini care sunt numere complexe. Adăugarea cu succes a numerelor complexe la matematică a contribuit, de asemenea, la deschiderea unei căi către crearea altor tipuri de numere care ar putea rezolva și ajuta la explicarea multor probleme diferite, de exemplu: numerele hipercomplexe, sedenionul, numerele hiperreale, numerele suprareale și multe altele. A se vedea tipurile de numere.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este un număr complex?
R: Un număr complex este un număr alcătuit din două părți, prima parte fiind un număr real, iar a doua parte fiind un număr imaginar.
Î: Care este cel mai important număr imaginar?
R: Cel mai important număr imaginar se numește i, care este definit ca un număr care va fi -1 atunci când este ridicat la pătrat.
Î: Cum se utilizează funcțiile aritmetice cu numere complexe?
R: Funcțiile aritmetice, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea, pot fi utilizate cu numere complexe. De asemenea, acestea respectă proprietățile comutative, asociative și distributive la fel ca și numerele reale.
Î: Ce simbol reprezintă setul de numere complexe?
R: Setul de numere complexe este adesea reprezentat cu ajutorul simbolului C.
Î: De ce au fost descoperite numerele complexe?
R: Numerele complexe au fost descoperite în timp ce se încerca rezolvarea unor ecuații speciale care conțin exponenți, deoarece acestea puneau probleme reale pentru matematicieni.
Î: Cine a introdus scrierea i pentru acest tip de numere?
R: Probabil Leonhard Euler a fost cel care a introdus scrierea lui i pentru acest tip de număr.
Î: Cum poate fi scris un număr complex sub forma unei perechi ordonate?
R: Un număr complex poate fi scris ca o pereche ordonată (a, b), unde atât a, cât și b sunt numere reale.
