Un număr complex este un număr, dar este diferit de numerele obișnuite în multe feluri. Un număr complex este alcătuit folosind două numere combinate. Prima parte este un număr real. A doua parte a unui număr complex este un număr imaginar. Cel mai important număr imaginar se numește i {\displaystyle i} 
, definit ca un număr care va fi -1 atunci când este ridicat la pătrat ("ridicat la pătrat" înseamnă "înmulțit cu el însuși"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Toate celelalte numere imaginare sunt i {\displaystyle i} înmulțit cu un număr real, în același mod în care toate numerele reale pot fi considerate ca fiind 1 înmulțit cu un alt număr. Funcțiile aritmetice, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea, pot fi utilizate cu numere complexe. Acestea respectă, de asemenea, proprietățile comutative, asociative și distributive, la fel ca și numerele reale.
Numerele complexe au fost descoperite în timp ce se încerca rezolvarea unor ecuații speciale care conțin exponenți. Acestea au început să pună probleme reale pentru matematicieni. Ca o comparație, folosind numere negative, este posibil să se găsească x în ecuația a + x = b {\displaystyle a+x=b}
pentru toate valorile reale ale lui a și b, dar dacă sunt permise doar numere pozitive pentru x, este uneori imposibil să se găsească un x pozitiv, ca în ecuația 3 + x = 1.
În cazul exponențializării, există o dificultate care trebuie depășită. Nu există niciun număr real care să dea -1 atunci când este ridicat la pătrat. Cu alte cuvinte, -1 (sau orice alt număr negativ) nu are o rădăcină pătrată reală. De exemplu, nu există un număr real x {\displaystyle x}
care să rezolve ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Pentru a rezolva această problemă, matematicienii au introdus un simbol i și l-au numit număr imaginar. Acesta este numărul imaginar care va da -1 atunci când este ridicat la pătrat.
Primii matematicieni care s-au gândit la acest lucru au fost probabil Gerolamo Cardano și Raffaele Bombelli. Aceștia au trăit în secolul al XVI-lea. Probabil Leonhard Euler a fost cel care a introdus scrierea i {\displaystyle \mathrm {i} } 
pentru acest număr.
Toate numerele complexe pot fi scrise ca a + b i {\displaystyle a+bi}. 
(sau a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), unde a se numește partea reală a numărului, iar b se numește partea imaginară. Se scrie ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
sau Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
pentru partea reală a unui număr complex z {\displaystyle z}
. Astfel, dacă z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, scriem a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. În mod similar, scriem ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
sau Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
pentru partea imaginară a unui număr complex z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im}. (z)} 
, pentru același z. Orice număr real este, de asemenea, un număr complex; este un număr complex z cu ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Numărul complex poate fi scris, de asemenea, ca o pereche ordonată, (a, b). Atât a, cât și b sunt numere reale. Orice număr real poate fi scris simplu ca a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
sau ca perechea (a, 0).
Uneori, se scrie j {\displaystyle j}
în loc de i {\displaystyle i} . În electrotehnică, i {\displaystyle i} înseamnă curent electric. Scrierea i {\displaystyle i} poate cauza o mulțime de probleme deoarece unele numere din ingineria electrică sunt numere complexe.
Setul tuturor numerelor complexe este de obicei scris ca C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
