Proprietatea distributivă

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 5 aprilie 2022

Distribuția este un concept din algebră: indică modul în care trebuie tratate operațiile binare. Cel mai simplu caz este cel al adunării și înmulțirii numerelor. De exemplu, în aritmetică:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), dar 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

În partea stângă a primei ecuații, 2 înmulțește suma lui 1 și 3; în partea dreaptă, înmulțește 1 și 3 individual, iar apoi se adaugă produsele. Deoarece acestea dau același răspuns final (8), se spune că înmulțirea cu 2 se distribuie peste adunarea lui 1 și 3. Deoarece s-ar fi putut pune orice numere reale în locul lui 2, 1 și 3 de mai sus și tot s-ar fi obținut o ecuație adevărată, spunem că înmulțirea numerelor reale se distribuie peste adunarea numerelor reale.

Definiție

Dat fiind un ansamblu $S$ și doi operatori binari ∗ și + pe $S$ , spunem că operația:

∗ este distributivă la stânga pe + dacă, date fiind orice elemente $x, y$ și $z$ din $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ este distributivă la dreapta pe + dacă, date fiind orice elemente $x, y$ și $z$ din $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ și

∗ este distributivă peste + dacă este distributivă la stânga și la dreapta. Observați că, atunci când ∗ este comutativ, cele trei condiții de mai sus sunt echivalente din punct de vedere logic.

Aplicații

Proprietatea distributivă poate fi aplicată și la:

Numere reale
Numere complexe
Matrici (se aplică reguli speciale)
Vectori (se aplică reguli speciale)
Seturi
Logica propozițională

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este distribuția în algebră?

R: Distribuția este un concept din algebră care descrie modul în care sunt tratate operațiile binare, cum ar fi adunarea și înmulțirea.

Î: Puteți oferi un exemplu de distribuție în aritmetică?

R: Da, un exemplu de distribuție în aritmetică este 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), unde în partea stângă 2 înmulțește suma lui 1 și 3, în timp ce în partea dreaptă 2 înmulțește individual 1 și 3, iar produsele se adaugă apoi.

Î: De ce este important conceptul de distribuție în algebră?

R: Conceptul de distribuție este important în algebră deoarece ajută la simplificarea ecuațiilor și la facilitarea rezolvării acestora.

Î: Se distribuie înmulțirea peste adunarea tuturor numerelor reale?

R: Da, înmulțirea numerelor reale se distribuie peste adunarea numerelor reale, ceea ce înseamnă că se poate pune orice număr real în locul valorilor din ecuația utilizată pentru exemplul de distribuție în aritmetică și se poate obține în continuare o ecuație adevărată.

Î: Este adunarea distributivă față de înmulțire în toate cazurile?

R: Nu, adunarea nu este distributivă față de înmulțire în toate cazurile; acest lucru este valabil numai pentru anumite seturi de numere, cum ar fi numerele reale.

Î: Puteți oferi un exemplu în care distribuția nu este adevărată?

R: Da, un contraexemplu în care distribuția nu este adevărată este 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). În acest caz, ecuația din partea stângă nu este egală cu ecuația din partea dreaptă, deoarece împărțirea nu se distribuie peste adunare.

Î: Cum se aplică distribuția la operațiile binare?

R: Distribuția în algebră se aplică în mod specific operațiilor binare, cum ar fi adunarea și înmulțirea, unde descrie modul în care trebuie efectuate operațiile atunci când există mai mult de un operand implicat.