Matrice (matematică) | un dreptunghi de numere, dispuse pe rânduri și coloane

Definiții și notații

Liniile orizontale dintr-o matrice se numesc rânduri, iar liniile verticale se numesc coloane. O matrice cu m rânduri și n coloane se numește matrice m pe n (sau matrice m×n), iar m și n se numesc dimensiunile sale.

Locurile din matrice în care se află numerele se numesc intrări. Intrarea dintr-o matrice A care se află pe rândul numărul i și coloana numărul j se numește intrarea i,j din A. Aceasta se scrie A[i,j] sau a_i,j .

Scriem A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\ ori n}} pentru a defini o matrice m × n A, fiecare intrare din matrice fiind numită_i,j pentru toate 1 ≤ i ≤ m și 1 ≤ j ≤ n.

Exemplu

Matricea

[ 1 2 2 3 1 2 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}}}}

este o matrice 4×3. Această matrice are m=4 rânduri și n=3 coloane.

Elementul A[2,3] sau un_2,3 este 7.

Operațiuni

Adăugare

Suma a două matrici este matricea a cărei a (i,j)-ea intrare este egală cu suma intrărilor (i,j)-ei din două matrici:

[ 1 3 3 2 1 0 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Cele două matrici au aceleași dimensiuni. Aici, A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} este adevărat (și este adevărat în general pentru matrici de dimensiuni egale).

Înmulțirea a două matrici

Înmulțirea a două matrici este un pic mai complicată:

[ a 1 a 2 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\end{bmatrix}}}}}}}}}}{b1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\end{bmatrix}}}

La fel și cu numerele:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&&3\\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Două matrici pot fi înmulțite una cu cealaltă chiar dacă au dimensiuni diferite, atâta timp cât numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din cea de-a doua matrice.
• Rezultatul înmulțirii, numit produs, este o altă matrice cu același număr de rânduri ca și prima matrice și același număr de coloane ca și a doua matrice.
• Înmulțirea matricelor nu este comutativă, ceea ce înseamnă că, în general, A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} .
• Înmulțirea matricelor este asociativă, ceea ce înseamnă că ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} .

Matrici speciale

Există unele matrici care sunt speciale.

Matrice pătrată

O matrice pătrată are același număr de rânduri și de coloane, deci m=n.

Un exemplu de matrice pătrată este

[ 5 - 2 - 2 4 0 9 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&&4\\0&9&1\\-7&6&8&8\\end{bmatrix}}}}}

Această matrice are 3 rânduri și 3 coloane: m=n=3.

Identitate

Fiecare set de dimensiuni pătrate al unei matrice are un corespondent special numit "matrice identitate", reprezentat prin simbolul I {\displaystyle I} . Matricea identitate nu are decât zerouri, cu excepția diagonalei principale, unde sunt numai unu. De exemplu:

[ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\0\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}}}

este o matrice identitate. Există exact o matrice identitate pentru fiecare set de dimensiuni pătrate. O matrice identitate este specială deoarece, atunci când se înmulțește orice matrice cu matricea identitate, rezultatul este întotdeauna matricea originală, fără nicio modificare.

Matricea inversă

O matrice inversă este o matrice care, atunci când este multiplicată cu o altă matrice, este egală cu matricea identitate. De exemplu:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\end{bmatrix}}} este inversul lui [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\end{bmatrix}}} .

Formula pentru inversa unei matrice 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} este:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{{\det }}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}}}}}

Unde det {\displaystyle \det } este determinantul matricei. Într-o matrice 2x2, determinantul este egal cu:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matrice cu o coloană

O matrice care are mai multe rânduri, dar numai o singură coloană, se numește vector coloană.

Determinanți

Determinantul ia o matrice pătrată și calculează un număr simplu, un scalar. Pentru a înțelege ce înseamnă acest număr, luați fiecare coloană a matricei și desenați-o ca un vector. Paralelogramul desenat de acești vectori are o arie, care este determinantul. Pentru toate matricile 2x2, formula este foarte simplă: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

Pentru matricele 3x3, formula este mai complicată: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Nu există formule simple pentru determinanții matricelor mai mari și mulți programatori de calculatoare studiază cum să determine calculatoarele să găsească rapid determinanți mari.

Proprietăți ale determinanților

Există trei reguli pe care le respectă toți factorii determinanți. Acestea sunt:

• Determinantul unei matrice identice este 1
• Dacă se schimbă două rânduri sau două coloane ale matricei, atunci determinantul se înmulțește cu -1. Matematicienii numesc acest lucru alternanță.
• Dacă toate numerele de pe un rând sau de pe o coloană sunt înmulțite cu un alt număr n, atunci determinantul este înmulțit cu n. De asemenea, dacă o matrice M are o coloană v care este suma a două matrici coloană v 1 {\displaystyle v_{1}} și v 2 {\displaystyle v_{2}}. atunci determinantul lui M este suma determinanților lui M cu v 1 {\displaystyle v_{1}} în locul lui v și M cu v 2 {\displaystyle v_{2}} în locul lui v. Aceste două condiții se numesc multi-linearitate.

Pagini conexe

• Determinant
• Valori proprii și vectori proprii
• Analiza matricei
• Funcția matricei
• Algebră liniară numerică
• Sistem de ecuații liniare
• Transpuneți