Vector euclidian | obiect matematic

• John merge spre nord 20 de metri. Direcția "nord" împreună cu distanța "20 de metri" reprezintă un vector.
• Un măr cade cu 10 metri pe secundă. Direcția "în jos" combinată cu viteza "10 metri pe secundă" reprezintă un vector. Acest tip de vector se mai numește și viteză.

• Distanța dintre două locuri este de 10 kilometri. Această distanță nu este un vector, deoarece nu conține o direcție.
• Numărul de fructe dintr-o cutie nu este un vector.
• O persoană care arată cu degetul nu este un vector, deoarece există doar o direcție. Nu există o mărime (distanța de la degetul persoanei la o clădire, de exemplu).
• Lungimea unui obiect.
• O mașină circulă cu 100 de kilometri pe oră. Acest lucru nu descrie un vector, deoarece există doar o mărime, dar nu și o direcție.

• Deplasarea este un vector. Deplasarea este distanța pe care se deplasează ceva într-o anumită direcție. O măsură a distanței singură este un scalar.
• Forța care include direcția este un vector.
• Viteza este un vector, deoarece este o viteză într-o anumită direcție.
• Accelerația este rata de schimbare a vitezei. Un obiect accelerează dacă își schimbă viteza sau își schimbă direcția.

Adăugarea vectorilor pe hârtie folosind metoda cap-coadă

Metoda de adunare a vectorilor de la cap la coadă este utilă pentru a face o estimare pe hârtie a rezultatului adunării a doi vectori. Pentru a face acest lucru:

• Fiecare vector este desenat ca o săgeată cu o lungime în spatele ei, unde fiecare unitate de lungime de pe hârtie reprezintă o anumită mărime a vectorului.
• Desenați următorul vector, cu coada (capătul) celui de-al doilea vector la capul (fața) primului vector.
• Se repetă pentru toți ceilalți vectori: Desenați coada vectorului următor la capul vectorului anterior.
• Trageți o linie de la coada primului vector până la capul ultimului vector - aceasta este rezultanta (suma) tuturor vectorilor.

Se numește metoda "Cap la coadă", deoarece fiecare cap din vectorul anterior conduce la coada vectorului următor.

Utilizarea formularului de componente

^{[trebuie să fie explicat ]}

Utilizarea formei componente pentru a adăuga doi vectori înseamnă, la propriu, adăugarea componentelor vectorilor pentru a crea un nou vector. De exemplu, fie a și b doi vectori bidimensionali. Acești vectori pot fi scriși în funcție de componentele lor.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Să presupunem că c este suma acestor doi vectori, astfel încât c = a + b. Aceasta înseamnă că c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Iată un exemplu de adunare a doi vectori, folosind formele lor componente:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}}

Această metodă funcționează pentru toți vectorii, nu doar pentru cei bidimensionali.

Folosind produsul punct

Produsul punct este o metodă de multiplicare a vectorilor. Acesta produce un scalar. Folosește forma componentă:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\&=2+12\\\&=14\end{aligned}}}}

Folosind produsul încrucișat

Produsul încrucișat este o altă metodă de multiplicare a vectorilor. Spre deosebire de produsul punct, acesta produce un vector. Se utilizează forma componentă:

a × b = | a | a | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |||mathbf {b} \sin(\theta )\mathbf {n} }

Aici, | a | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} înseamnă lungimea unui {\displaystyle \mathbf {a} } și n {\displaystyle \mathbf {n} } reprezintă vectorul unitar în unghiuri drepte față de ambele {\displaystyle \mathbf {a}. } și b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Înmulțirea cu un scalar

Pentru a înmulți un vector cu un scalar (un număr normal), se înmulțește numărul cu fiecare componentă a vectorului:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Un exemplu în acest sens este

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\\\\mathbf {x} &=(3,4)\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\\&=(15,20)\end{aligned}}}}}

• Geometrie analitică
• Vector nul
• Vector unitar
• Câmp vectorial
• Grafică vectorială
• Spațiul vectorial
• Subspațiu vectorial