Determinant (matematică) | matrice pătrată este un scalar care indică modul în care se comportă acea matrice

Există câteva moduri de a înțelege ce spune determinantul despre o matrice.

Interpretarea geometrică

O matrice n × n {\displaystyle n\ ori n} poate fi considerată ca descriind o hartă liniară în n {\displaystyle n} dimensiuni. În acest caz, determinantul indică factorul cu care această matrice scalează (crește sau se micșorează) o regiune din spațiul cu n {\displaystyle n} dimensiuni.

De exemplu, o matrice 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrice A {\displaystyle A} , văzută ca o hartă liniară, va transforma un pătrat din spațiul bidimensional într-un paralelogram. Aria paralelogramului va fi de det ( A ) {\displaystyle \det(A)} ori mai mare decât aria pătratului.

În același mod, o matrice B de 3 × 3 {\displaystyle 3\ ori 3} {\displaystyle B} , văzută ca o hartă liniară, va transforma un cub în spațiul tridimensional într-un paralelipiped. Volumul acestui paralelipiped va fi de det ( B ) {\displaystyle \det(B)} ori mai mare decât volumul cubului.

Determinantul poate fi negativ sau zero. O hartă liniară poate întinde și scala un volum, dar îl poate și reflecta pe o axă. Ori de câte ori se întâmplă acest lucru, semnul determinantului se schimbă din pozitiv în negativ sau din negativ în pozitiv. Un determinant negativ înseamnă că volumul a fost oglindit pe un număr impar de axe.

Interpretarea "Sistem de ecuații"

Ne putem gândi la o matrice ca la descrierea unui sistem de ecuații liniare. Acest sistem are o soluție unică non-trivială exact atunci când determinantul este diferit de 0 (non-trivial înseamnă că soluția nu este numai zerouri).

Dacă determinantul este zero, atunci fie nu există o soluție unică non-trivială, fie există o infinitate de soluții.

O matrice are o matrice inversă exact atunci când determinantul nu este 0. Din acest motiv, o matrice cu un determinant diferit de zero se numește inversabilă. În cazul în care determinantul este 0, atunci matricea se numește neinversibilă sau singulară.

Din punct de vedere geometric, ne putem gândi la o matrice singulară ca la "aplatizarea" paralelipipedului într-un paralelogram, sau a paralelogramului într-o linie. Atunci volumul sau aria este 0, ceea ce înseamnă că nu există nicio hartă liniară care să readucă vechea formă.

Există câteva moduri de a calcula un determinant.

Formule pentru matrici mici

• Pentru matricile 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} și 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} , se aplică următoarele formule simple:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

• Pentru matricele 3 × 3 {\displaystyle 3\ ori 3} , formula este:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Pentru a reține această formulă se poate folosi regula lui Sarrus (vezi imaginea).

Extinderea cofactorilor

Pentru matrici mai mari, determinantul este mai greu de calculat. O modalitate de a face acest lucru se numește expansiunea cofactorilor.

Să presupunem că avem o matrice n × n {\displaystyle n\ ori n} A {\displaystyle A} . Mai întâi, alegem orice rând sau coloană a matricei. Pentru fiecare număr a i j {\displaystyle a_{ij}} din acel rând sau coloană, calculăm ceva numit cofactorul său C i j {\displaystyle C_{ij}}. . Atunci det ( A ) = ∑ a i j C i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}. .

Pentru a calcula un astfel de cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}} , ștergem rândul i {\displaystyle i} și coloana j {\displaystyle j} din matricea A {\displaystyle A} . Obținem astfel o matrice mai mică ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\ ori (n-1)} . O numim M {\displaystyle M} . Cofactorul C i j {\displaystyle C_{ij}} este atunci egal cu ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Iată un exemplu de expansiune a cofactorului coloanei din stânga unei matrice 3 × 3 {\displaystyle 3\ ori 3} :

det [ 1 3 2 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}\dreapta)\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\&=-11.\end{aligned}}}

După cum s-a ilustrat mai sus, se poate simplifica calculul determinantului prin alegerea unui rând sau a unei coloane care are multe zerouri; dacă a i j {\displaystyle a_{ij}} este 0, atunci se poate sări peste calculul lui C i j {\displaystyle C_{ij}} cu totul.

• Matrice inversabilă
• Volum