Determinant (matematică) | matrice pătrată este un scalar care indică modul în care se comportă acea matrice

Determinantul unei matrice pătrate este un scalar (un număr) care indică modul în care se comportă matricea respectivă. Acesta poate fi calculat pornind de la numerele din matrice.

Determinantul matricei {\displaystyle A} se scrie ca {\displaystyle \det(A)} sau {\displaystyle |A|} într-o formulă. Uneori, în loc de {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} și {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}, se scrie simplu {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} și {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|} .




 

Interpretare

Există câteva moduri de a înțelege ce spune determinantul despre o matrice.

Interpretarea geometrică

O matrice {\displaystyle n\times n} poate fi considerată ca descriind o hartă liniară în n dimensiuni. În acest caz, determinantul indică factorul cu care această matrice scalează (crește sau se micșorează) o regiune din spațiul cu n dimensiuni.

De exemplu, o matrice {\displaystyle 2\times 2} matrice {\displaystyle A}, văzută ca o hartă liniară, va transforma un pătrat din spațiul bidimensional într-un paralelogram. Aria paralelogramului va fi {\displaystyle \det(A)} ori mai mare decât aria pătratului.

În același mod, o matrice {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle B} , văzută ca o hartă liniară, va transforma un cub în spațiul tridimensional într-un paralelipiped. Volumul acestui paralelipiped va fi {\displaystyle \det(B)} ori mai mare decât volumul cubului.

Determinantul poate fi negativ sau zero. O hartă liniară poate întinde și scala un volum, dar îl poate și reflecta pe o axă. Ori de câte ori se întâmplă acest lucru, semnul determinantului se schimbă din pozitiv în negativ sau din negativ în pozitiv. Un determinant negativ înseamnă că volumul a fost oglindit pe un număr impar de axe.

Interpretarea "Sistem de ecuații"

Ne putem gândi la o matrice ca la descrierea unui sistem de ecuații liniare. Acest sistem are o soluție unică non-trivială exact atunci când determinantul este diferit de 0 (non-trivial înseamnă că soluția nu este numai zerouri).

Dacă determinantul este zero, atunci fie nu există o soluție unică non-trivială, fie există o infinitate de soluții.



 

Zoom

Pentru o matrice {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}, determinantul este aria unei paralelograme. (Aria este egală cu {\displaystyle ad-bc} .)


 

Matrici singulare

O matrice are o matrice inversă exact atunci când determinantul nu este 0. Din acest motiv, o matrice cu un determinant diferit de zero se numește inversabilă. În cazul în care determinantul este 0, atunci matricea se numește neinversibilă sau singulară.

Din punct de vedere geometric, ne putem gândi la o matrice singulară ca la "aplatizarea" paralelipipedului într-un paralelogram, sau a paralelogramului într-o linie. Atunci volumul sau aria este 0, ceea ce înseamnă că nu există nicio hartă liniară care să readucă vechea formă.


 

Calcularea unui determinant

Există câteva moduri de a calcula un determinant.

Formule pentru matrici mici

  • Pentru matricile {\displaystyle 1\times 1} și {\displaystyle 2\times 2} , se aplică următoarele formule simple:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • Pentru matricele {\displaystyle 3\times 3} , formula este:

{\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Pentru a reține această formulă se poate folosi regula lui Sarrus (vezi imaginea).

Extinderea cofactorilor

Pentru matrici mai mari, determinantul este mai greu de calculat. O modalitate de a face acest lucru se numește expansiunea cofactorilor.

Să presupunem că avem o matrice {\displaystyle n\times n} {\displaystyle A} . Mai întâi, alegem orice rând sau coloană a matricei. Pentru fiecare număr {\displaystyle a_{ij}} din acel rând sau coloană, calculăm ceva numit cofactorul său {\displaystyle C_{ij}}. Atunci {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

Pentru a calcula un astfel de cofactor {\displaystyle C_{ij}}, ștergem rândul {\displaystyle i} și coloana {\displaystyle j} din matricea {\displaystyle A} . Obținem astfel o matrice mai mică {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} . O numim {\displaystyle M} . Cofactorul {\displaystyle C_{ij}} este atunci egal cu {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Iată un exemplu de expansiune a cofactorului coloanei din stânga unei matrice {\displaystyle 3\times 3} :

C 11 + 2 C 21 + 0 C 31 = ( 1 ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 1 ] ) = ( 1 1 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ( - 1 ) 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}\dreapta)\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\&=-11.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

După cum s-a ilustrat mai sus, se poate simplifica calculul determinantului prin alegerea unui rând sau a unei coloane care are multe zerouri; dacă {\displaystyle a_{ij}} este 0, atunci se poate sări peste calculul lui {\displaystyle C_{ij}} cu totul.



 

Zoom

Formula determinantului {\displaystyle 3\times 3} este o sumă de produse. Acești produse merg de-a lungul diagonalelor care se "înfășoară" până în partea superioară a matricei. Acest truc se numește regula lui Sarrus.


 

Pagini conexe

  • Matrice inversabilă
  • Volum
 

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este un determinant?


R: Un determinant este un scalar (un număr) care indică modul în care se comportă o matrice pătrată.

Î: Cum poate fi calculat determinantul unei matrice?


R: Determinantul matricei poate fi calculat din numerele din matrice.

Î: Cum se scrie determinantul unei matrice?


R: Determinantul unei matrice se scrie ca det(A) sau |A| într-o formulă.

Î: Există și alte moduri de a scrie determinantul unei matrice?


R: Da, în loc de det([a b c d]) și |[a b c d]|, se poate scrie pur și simplu det [a b c d] și |[a b c d]|.

Î: Ce înseamnă când spunem "scalar"?


R: Un scalar este un număr sau o cantitate individuală care are magnitudine, dar nu are direcție asociată.

Î: Ce sunt matricile pătrate?


R: Matricele pătrate sunt matrici cu un număr egal de rânduri și coloane, cum ar fi matricele 2x2 sau 3x3.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3