Paralelipiped

Oricare dintre cele trei perechi de fețe paralele poate fi considerată ca fiind planul de bază al prismei. Un paralelipiped are trei seturi de patru muchii paralele; muchiile din cadrul fiecărui set sunt de lungime egală.

Paralelipipedele rezultă din transformările liniare ale unui cub (pentru cazurile nedegenerate: transformările liniare bijective).

Deoarece fiecare față are simetrie punctiformă, un paralelipiped este un zonoedru. De asemenea, întregul paralelipiped are simetrie punctiformă _Ci (vezi și triclinic). Fiecare față este, văzută din exterior, imaginea în oglindă a feței opuse. Fețele sunt în general chirale, dar paralelipipedul nu este.

Este posibilă o teselare de umplere a spațiului cu copii congruente ale oricărui paralelipiped.

Volumul unui paralelipiped este produsul dintre aria bazei sale A și înălțimea h. Baza este oricare dintre cele șase fețe ale paralelipipedului. Înălțimea este distanța perpendiculară dintre bază și fața opusă.

O metodă alternativă definește vectorii a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) și c = (c1, c2, c3) pentru a reprezenta trei muchii care se întâlnesc la un singur vârf. Volumul paralelipipedului este atunci egal cu valoarea absolută a produsului triplu scalar a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Acest lucru este adevărat deoarece, dacă alegem b și c pentru a reprezenta marginile bazei, aria bazei este, prin definiția produsului în cruce (a se vedea semnificația geometrică a produsului în cruce),

A = | b | c | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

unde θ este unghiul dintre b și c, iar înălțimea este

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

unde α este unghiul intern dintre a și h.

Din figură se poate deduce că mărimea lui α este limitată la 0° ≤ α < 90°. Dimpotrivă, vectorul b × c poate forma cu a un unghi intern β mai mare de 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Și anume, întrucât b × c este paralel cu h, valoarea lui β este fie β = α, fie β = 180° - α. Deci

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

și

h = | a | | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Concluzionăm că

V = A h = | a | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right||left|\cos \beta \right|,}

care este, prin definiția produsului scalar (sau a produsului punct), echivalent cu valoarea absolută a - (b × c), Q.E.D.

Această din urmă expresie este, de asemenea, echivalentă cu valoarea absolută a determinantului unei matrice tridimensionale construită folosind a, b și c ca linii (sau coloane):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Aceasta se găsește folosind regula lui Cramer pe trei matrici bidimensionale reduse găsite din original.

Dacă a, b și c sunt lungimile marginilor paralelipipedului, iar α, β și γ sunt unghiurile interioare dintre margini, volumul este

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Tetraedrul corespunzător

Volumul oricărui tetraedru care împarte trei muchii convergente ale unui paralelipiped are un volum egal cu o șesime din volumul acelui paraleliped (a se vedea dovada).

Pentru paralelipipedele cu un plan de simetrie există două cazuri:

• are patru fețe dreptunghiulare
• are două fețe rombice, în timp ce dintre celelalte fețe, două adiacente sunt egale și celelalte două de asemenea (cele două perechi sunt imaginea în oglindă una a celeilalte).

A se vedea și monoclinic.

Un cuboid dreptunghiular, numit și paralelipiped dreptunghiular sau uneori pur și simplu cuboid, este un paralelipiped ale cărui fețe sunt dreptunghiulare; un cub este un cuboid cu fețe pătrate.

Un romboedru este un paralelipiped cu toate fețele rombice; un trapezoedru trigonal este un romboedru cu fețe rombice congruente.

Un paralelipiped perfect este un paralelipiped cu muchii de lungime întreagă, diagonale de față și diagonale de spațiu. În 2009, s-a demonstrat că există zeci de paralelipipede perfecte, răspunzând astfel la o întrebare deschisă a lui Richard Guy. Un exemplu are marginile 271, 106 și 103, diagonalele minore ale feței 101, 266 și 255, diagonalele majore ale feței 183, 312 și 323 și diagonalele spațiale 374, 300, 278 și 272.

Se cunosc câteva paralelipipede perfecte cu două fețe dreptunghiulare. Dar nu se știe dacă există vreunul cu toate fețele dreptunghiulare; un astfel de caz s-ar numi un cuboid perfect.

Coxeter a numit paralelipipedul generalizat în dimensiuni mai mari paralelotropul.

În mod specific, în spațiul n-dimensional, se numește paralelotropul n-dimensional sau pur și simplu paralelotropul n. Astfel, un paralelogram este un paralelipiped cu 2-paraletopi, iar un paralelipiped este un paraleliped cu 3-paraletopi.

În general, un paralelotropul sau paralelotropul Voronoi are fațete opuse paralele și congruente. Astfel, un paralelotropul 2 este un paralelogon, care poate include și anumite hexagoane, iar un paralelotropul 3 este un paralelogon, care include 5 tipuri de poliedre.

Diagonalele unui n-paraletopi se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct. Inversarea în acest punct lasă n-paraletopul neschimbat. A se vedea, de asemenea, punctele fixe ale grupurilor de izometrie în spațiul euclidian.

Marginile care iradiază de la un vârf al unui k-paralelotrop formează un k-frame ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} al spațiului vectorial, iar paralelotropul poate fi recuperat din acești vectori, luând combinații liniare ale vectorilor, cu ponderi între 0 și 1.

Volumul n al unui n-paraletopi încorporat în R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}} unde m ≥ n {\displaystyle m\geq n} poate fi calculat cu ajutorul determinantului Gram. Alternativ, volumul este norma produsului exterior al vectorilor:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\||. }

Dacă m = n, aceasta reprezintă valoarea absolută a determinantului celor n vectori.

O altă formulă de calcul a volumului unui n-paraletopi P în R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , ale cărui n + 1 vârfuri sunt V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}. , este

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})^{\rm {T})|,}

unde [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} este vectorul de rânduri format prin concatenarea lui V i {\displaystyle V_{i}} și 1. Într-adevăr, determinantul este neschimbat dacă [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} este sustras din [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0), iar plasarea lui [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} în ultima poziție îi schimbă doar semnul.

În mod similar, volumul oricărui n-simplex care împarte n muchii convergente ale unui paralelotropi are un volum egal cu 1/n! din volumul paralelotropiului respectiv.

Cuvântul apare ca parallelipipedon în traducerea lui Sir Henry Billingsley a Elementelor lui Euclid, datată 1570. În ediția din 1644 a Cursus mathematicus, Pierre Hérigone a folosit ortografia parallelepipedum. Dicționarul Oxford English Dictionary citează paralelipipedul actual ca fiind apărut pentru prima dată în Chorea gigantum (1663) a lui Walter Charleton.

Charles Hutton's Dictionary (1795) prezintă parallelopiped și parallelopipedon, arătând influența formei combinate parallelo-, ca și cum al doilea element ar fi fost pipedon și nu epipedon. Noah Webster (1806) include ortografia parallelopiped. Ediția din 1989 a Oxford English Dictionary descrie în mod explicit parallelopiped (și parallelipiped) ca fiind forme incorecte, dar acestea sunt enumerate fără comentarii în ediția din 2004 și sunt date doar pronunțiile cu accent pe a cincea silabă pi (/paɪ/).

O schimbare față de pronunția tradițională a ascuns partiția diferită sugerată de rădăcinile grecești, cu epi- ("pe") și pedon ("pământ") combinându-se pentru a da epiped, un "plan" plat. Astfel, fețele unui paralelipiped sunt plane, fețele opuse fiind paralele.