Geometrie euclidiană | un sistem în matematică

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 18 ianuarie 2022

Geometria euclidiană este un sistem în matematică. Oamenii cred că Euclid a fost prima persoană care a descris-o; de aceea îi poartă numele. El a descris-o pentru prima dată în manualul său Elemente. Cartea a fost prima discuție sistematică a geometriei așa cum era cunoscută la acea vreme. În carte, Euclid își asumă mai întâi câteva axiome. Acestea formează baza pentru lucrările ulterioare. Ele sunt clare din punct de vedere intuitiv. Pornind de la aceste axiome, pot fi demonstrate alte teoreme.

În secolul al XIX-lea au fost descoperite alte forme de geometrie. Acestea sunt geometria neeuclidiană. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai și Nikolai Ivanovici Lobachevsky au fost câteva persoane care au dezvoltat astfel de geometrii. Foarte adesea, acestea nu folosesc postulatul paralelismului, ci celelalte patru axiome.

Axiomele

Euclid face următoarele ipoteze. Acestea sunt axiome și nu este necesar să fie demonstrate.

Orice două puncte pot fi unite printr-o linie dreaptă.
Orice segment de dreaptă poate fi prelungit (extins) până la infinit, astfel încât să devină o linie dreaptă.
Cu un segment de dreaptă se poate desena un cerc, astfel încât un punct final al segmentului să fie centrul cercului, iar celălalt punct final să se afle pe cerc. Segmentul de dreaptă devine raza cercului.
Toate unghiurile drepte sunt congruente
Postulatul paralel. Dacă două drepte intersectează o a treia în așa fel încât suma unghiurilor interioare de pe o parte este mai mică decât două unghiuri drepte, atunci cele două drepte trebuie să se intersecteze inevitabil pe acea parte dacă sunt extinse suficient de mult.

Stare

Geometria euclidiană este o teorie de ordinul întâi. Cu ajutorul acesteia, se pot face și demonstra afirmații de genul Pentru toate triunghiurile.... Afirmații de genul Pentru toate seturile de triunghiuri... sunt în afara domeniului de aplicare al teoriei.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este geometria euclidiană?

R: Geometria euclidiană este un sistem matematic care a fost descris pentru prima dată de Euclid în manualul său Elemente. Acesta constă în câteva axiome care formează baza pentru lucrările ulterioare, iar alte teoreme pot fi demonstrate pornind de la aceste axiome.

Î: Cine a scris Elemente?

R: Euclid a scris Elemente, care a fost prima discuție sistematică a geometriei așa cum era cunoscută la acea vreme.

Î: Care sunt câteva exemple de geometrii neeuclidiene?

R: Geometriile neeuclidiene au fost dezvoltate de Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai și Nikolai Ivanovici Lobachevsky în secolul al XIX-lea. Adesea, acestea nu utilizează postulatul paralelismului, ci se bazează mai degrabă pe celelalte patru axiome.

Î: Ce discută Elemente?

R: Elemente discută geometria așa cum era cunoscută la acea vreme și oferă o discuție sistematică a acesteia.

Î: Câte axiome are geometria euclidiană?

R: Geometria euclidiană are câteva axiome care constituie baza pentru lucrările ulterioare.

Î: Cine a dezvoltat geometrii neeuclidiene?

R: Geometriile neeuclidiene au fost dezvoltate de Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai și Nikolai Ivanovici Lobachevsky în secolul al XIX-lea.

Î: Geometria neeuclidiană utilizează toate cele cinci axiome sau doar patru?

R: Geometria neeuclidiană adesea nu utilizează postulatul paralelismului, ci se bazează mai degrabă pe doar patru dintre cele cinci axiome ale sale.