Numărul lui Fermat

Autor: Leandro Alegsa

20-05-2021

Un număr Fermat este un număr pozitiv special. Numerele Fermat sunt denumite după Pierre de Fermat. Formula care le generează este

F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}+1}} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

unde n este un număr întreg nenegativ. Primele nouă numere Fermat sunt (secvența A000215 în OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Până în 2007, doar primele 12 numere Fermat au fost complet calculate. (scrise ca produs de numere prime) Aceste factorizări pot fi găsite la Prime Factors of Fermat Numbers.

Dacă 2n + 1 este număr prim și n > 0, se poate demonstra că n trebuie să fie o putere a doua. Orice număr prim de forma 2n + 1 este un număr Fermat, iar astfel de numere prime se numesc numere prime Fermat. Singurele numere prime Fermat cunoscute sunt F0,...,_F4.

Lucruri interesante despre numerele lui Fermat

Nu există două numere Fermat care să aibă divizori comuni.
Numerele Fermat pot fi calculate în mod recursiv: Pentru a obține al N-lea număr, se înmulțesc toate numerele Fermat dinaintea lui și se adaugă doi la rezultat.

Pentru ce sunt utilizate

Astăzi, numerele Fermat pot fi folosite pentru a genera numere aleatoare, între 0 și o anumită valoare N, care este o putere a lui 2.

Conjectura lui Fermat

Fermat, în timp ce studia aceste numere, a conchis că toate numerele lui Fermat sunt prime. Leonhard Euler a dovedit că această presupunere este greșită, deoarece a factorizat F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ în 1732.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este un număr Fermat?

R: Un număr Fermat este un număr pozitiv special numit după Pierre de Fermat. Acesta este generat de formula F_n = 2^2^(n) + 1, unde n este un număr întreg nenegativ.

Î: Câte numere Fermat există?

R: Până în 2007, doar primele 12 numere Fermat au fost complet factorizate.

Î: Care sunt primele nouă numere Fermat?

A: Primele nouă numere Fermat sunt: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 1844674404073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 34028236692093846346337460747431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), și F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039394575758484007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Î: Ce se poate spune despre numerele prime de forma 2n + 1?

R: Dacă 2n + 1 este prim și n > 0, atunci se poate demonstra că n trebuie să fie o putere a lui doi. Orice număr prim de forma 2n + 1 este, de asemenea, un număr Fermat și astfel de numere prime se numesc numere prime Fermat. Singurele numere prime Fermat cunoscute sunt cele de la 0 la 4.

Î: Unde se pot găsi factorizări pentru toate cele 12 numere Fermat factorizate cunoscute?

R: Factorizările pentru toate cele 12 numere Fermat factorizate cunoscute pot fi găsite la Prime Factors of Fermat Numbers.

Î: Cine a fost Pierre de Fermaat?

R: Pierre de Fermaat a fost un matematician francez influent care a trăit în secolul al XVII-lea și a cărui muncă a pus o mare parte din bazele matematicii moderne. El este cunoscut mai ales pentru contribuțiile sale la teoria probabilităților și la geometria analitică, precum și pentru celebra sa ultimă teoremă, care a rămas nerezolvată până în 1995, când a fost demonstrată în cele din urmă de Andrew Wiles folosind metode din geometria algebrică.