Congruență

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 30 august 2021

În geometrie, două figuri sau obiecte sunt congruente dacă au aceeași formă și dimensiune. De asemenea, dacă una dintre ele are aceeași formă și dimensiune ca imaginea în oglindă a celeilalte.

Mai exact, două seturi de puncte se numesc congruente dacă și numai dacă unul dintre ele poate fi transformat în celălalt prin izometrie. Pentru izometrie, se utilizează mișcări rigide.

Aceasta înseamnă că un obiect poate fi repoziționat și reflectat (dar nu redimensionat) astfel încât să coincidă exact cu celălalt obiect. Astfel, două figuri plane distincte de pe o bucată de hârtie sunt congruente dacă le putem decupa și apoi le putem face să coincidă complet. Întoarcerea hârtiei este permisă.

Poligoanele congruente sunt poligoane care, dacă pliați un poligon regulat în două, acesta este un poligon congruent.

Două forme geometrice sunt congruente dacă una dintre ele poate fi mutată sau rotită astfel încât să se potrivească exact în locul celeilalte. În cazul în care unul dintre obiecte trebuie să-și schimbe dimensiunea, cele două obiecte nu sunt congruente: ele sunt doar numite similare.

Dacă două figuri sau obiecte sunt congruente, ele au aceeași formă și dimensiune, dar pot fi rotite, mutate, oglindite (reflectate) sau translatate, astfel încât să se potrivească exact unde se află cealaltă.

Un exemplu de congruență. Cele două triunghiuri din stânga sunt congruente, în timp ce al treilea este asemănător cu ele. Ultimul triunghi nu este nici asemănător, nici congruent cu niciunul dintre celelalte. Rețineți că congruența permite modificarea unor proprietăți, cum ar fi locația și orientarea, dar lasă altele neschimbate, cum ar fi distanța și unghiurile. Proprietățile neschimbate se numesc invarianți.

Exemple

toate pătratele care au laturile de aceeași lungime sunt congruente.
toate triunghiurile echilaterale care au laturile de aceeași lungime sunt congruente.

Teste de congruență

Două unghiuri și latura dintre ele sunt identice în două triunghiuri (congruența ASA)
Două unghiuri și o latură care nu se află între ele sunt identice în ambele triunghiuri (congruență AAS)
Toate cele trei laturi ale ambelor triunghiuri sunt identice (congruența SSS)
două laturi și unghiul dintre ele face ca 2 triunghiuri să fie congruente (congruență SAS)

Cum putem obține noi forme congruente?

Avem destul de multe posibilități, câteva reguli pentru a face forme noi congruente cu cea originală.

Dacă deplasăm o formă geomentrică în plan, obținem o formă congruentă cu cea inițială.
Dacă, în loc de deplasare, facem o rotație, obținem o formă congruentă cu cea originală.
Chiar dacă luăm o imagine în oglindă a formei originale, tot obținem o formă congruentă.
Dacă combinăm cele trei activități una după alta, obținem în continuare forme congruente.
Nu mai există forme congruente. Mai exact, acest lucru înseamnă că, dacă o formă este congruentă cu cea originală, atunci se poate ajunge la ea prin cele trei activități descrise mai sus.

Relația conform căreia o formă este congruentă cu o altă formă are trei proprietăți celebre.

Dacă lăsăm forma originală la locul ei inițial, atunci aceasta este congruentă cu ea însăși. Acest comportament, această proprietate se numește reflexivitate.

De exemplu, dacă deplasarea de mai sus nu este o deplasare propriu-zisă, ci doar o deplasare care face o mișcare de lungime zero. Sau, în mod similar, dacă rotația de mai sus nu este o rotație propriu-zisă, ci doar o rotație de unghi zero.

Dacă o formă este congruentă cu o altă formă, atunci și această altă formă este congruentă cu cea originală. Acest comportament, această proprietate se numește simetrie.

De exemplu, dacă deplasăm înapoi, rotim înapoi sau oglindim noua formă în cea originală, atunci forma originală este congruentă cu cea nouă.

Dacă o formă C este congruentă cu o formă B, iar forma B este congruentă cu forma inițială A, atunci forma C este, de asemenea, congruentă cu forma inițială A. Acest comportament, această proprietate se numește tranzitivitate.

De exemplu, dacă aplicăm mai întâi o deplasare și apoi o rotație, atunci noua formă rezultată este în continuare congruentă cu cea originală.

Cele trei proprietăți celebre, reflexivitatea, simetria și tranzitivitatea, formează împreună noțiunea de echivalență. Prin urmare, proprietatea congruență este un fel de relație de echivalență între formele unui plan.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce înseamnă ca două figuri să fie congruente în geometrie?

R: Două figuri sunt congruente în geometrie dacă au aceeași formă și dimensiune sau dacă una are aceeași formă și dimensiune ca imaginea în oglindă a celeilalte.

Î: Cum se numesc două seturi de puncte congruente?

R: Două seturi de puncte se numesc congruente dacă și numai dacă unul dintre ele poate fi transformat în celălalt prin izometrie.

Î: La ce sunt utilizate mișcările rigide în izometrie?

R: Mișcările rigide sunt utilizate în izometrie pentru a repoziționa, roti sau reflecta figuri geometrice fără a le redimensiona, astfel încât acestea să coincidă exact cu alte obiecte.

Î: Pot fi două figuri congruente dacă una dintre ele trebuie să își schimbe dimensiunea pentru a coincide cu cealaltă?

R: Nu, dacă unul dintre obiecte trebuie să își schimbe dimensiunea pentru a coincide cu celălalt, atunci cele două obiecte nu sunt congruente, dar se numesc similare.

Î: Ce putem spune despre congruența a două figuri plane distincte pe o bucată de hârtie?

R: Două figuri plane distincte de pe o bucată de hârtie sunt congruente dacă le putem decupa și apoi le putem face să se potrivească complet, întorcând hârtia dacă este necesar.

Î: Ce sunt poligoanele congruente?

R: Poligoanele congruente sunt poligoane care pot fi pliate în jumătate pentru a forma un alt poligon regulat care este, de asemenea, congruent.

Î: Care este criteriul pentru ca două obiecte să fie numite congruente în geometrie?

R: Criteriul pentru ca două obiecte să fie numite congruente în geometrie este ca unul dintre ele să poată fi repoziționat, rotit sau reflectat astfel încât să coincidă exact cu celălalt obiect, fără a-i modifica dimensiunea.