Numerele Fibonacci

Autor: Leandro Alegsa

17-05-2021

Numerele lui Fibonacci sunt o secvență de numere din matematică numită după Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci. Fibonacci a scris o carte în 1202, intitulată Liber Abaci ("Cartea calculelor"), care a introdus modelul de numere în matematica vest-europeană, deși matematicienii din India îl cunoșteau deja.

Primul număr al modelului este 0, al doilea număr este 1, iar fiecare număr care urmează este egal cu suma celor două numere dinaintea lui. De exemplu, 0+1=1 și 3+5=8. Această secvență continuă la nesfârșit.

Acest lucru poate fi scris ca o relație de recurență,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Pentru ca acest lucru să aibă sens, este necesar să se ofere cel puțin două puncte de plecare. Aici, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} $F_{0}=0$ și F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} $F_{1}=1$ .

O spirală Fibonacci creată prin trasarea unei linii prin pătratele din țigla Fibonacci; aceasta folosește pătrate de mărimile 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21 și 34; vezi Spirala de aur.

Numerele Fibonacci în natură

Numerele Fibonacci sunt legate de raportul de aur, care apare în multe locuri din clădiri și din natură. Câteva exemple sunt modelul frunzelor pe o tulpină, părțile unui ananas, înflorirea anghinarei, desfășurarea unei ferigi și aranjarea unui con de pin. Numerele Fibonacci se regăsesc, de asemenea, în arborele genealogic al albinelor.

Cap de floarea-soarelui care prezintă flori în spirale de 34 și 55 în jurul exteriorului

Formula lui Binet

Al n-lea număr Fibonacci poate fi scris în termenii raportului de aur. În acest fel se evită utilizarea recursivității pentru a calcula numerele Fibonacci, ceea ce poate dura mult timp pentru un computer.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}}{\sqrt {5}}}} $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

Unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , raportul de aur.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este secvența Fibonacci?

R: Secvența Fibonacci este un model de numere în matematică numit după Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci. Aceasta începe cu 0 și 1, iar fiecare număr care urmează este egal cu adunarea celor două numere de dinaintea sa.

Î: Cine a introdus acest model de numere în matematica vest-europeană?

R: Fibonacci a scris o carte în 1202, intitulată Liber Abaci ("Cartea calculelor"), care a introdus modelul numeric în matematica vest-europeană, deși matematicienii din India îl cunoșteau deja.

Î: Cum poate fi scrisă secvența Fibonacci?

R: Secvența Fibonacci poate fi scrisă ca o relație de recurență, unde F_n = F_n-1 + F_n-2 pentru n ≥ 2.

Î: Care sunt punctele de plecare pentru această relație de recurență?

R: Pentru ca această relație să aibă sens, trebuie să fie date cel puțin două puncte de plecare. Aici, F_0 = 0 și F_1 = 1.

Î: Continuă secvența Fibonacci la nesfârșit?

R: Da, secvența continuă la nesfârșit.

Î: Unde au învățat matematicienii pentru prima dată despre acest model de numere? R: Matematicienii din India erau deja familiarizați cu acest model de numere înainte ca el să fie introdus în Europa de Vest de Leonardo din Pisa (Fibonacci).