Șir (matematică) | un set de evenimente, mișcări sau elemente legate între ele, care se succed într-o anumită ordine

O secvență este un cuvânt care înseamnă "un set de evenimente, mișcări sau elemente legate între ele, care se succed într-o anumită ordine".

Acesta este utilizat în matematică și în alte discipline. În utilizarea obișnuită, înseamnă o serie de evenimente, unul după altul. În matematică, o secvență este alcătuită din mai multe lucruri puse împreună, unul după altul. Ordinea în care se află lucrurile contează. De exemplu, atât (Albastru, Roșu, Galben), cât și (Galben, Albastru, Roșu) sunt secvențe, dar nu sunt identice. Secvențele alcătuite din numere se mai numesc și progresii.

Există două tipuri de secvențe. Un tip este cel al secvențelor finite, care au un sfârșit. De exemplu, (1, 2, 3, 4, 5) este o secvență finită. Celălalt tip este reprezentat de secvențe infinite, ceea ce înseamnă că acestea continuă și nu se termină niciodată. Un exemplu de secvență infinită este secvența tuturor numerelor pare, mai mari decât 0. Această secvență nu se termină niciodată: începe cu 2, 4, 6 și așa mai departe, iar numerele pare pot fi numite în continuare.

Dacă o secvență este finită, este ușor de spus ce este: se pot scrie pur și simplu toate lucrurile din secvență. Acest lucru nu funcționează în cazul unei secvențe infinite. Așadar, o altă modalitate de a scrie o secvență este de a scrie o regulă pentru a găsi un lucru în orice loc dorit. Regula ar trebui să ne spună cum să obținem lucrul în al n-lea loc, unde n poate fi orice număr natural. Aceasta înseamnă că o secvență este de fapt un tip special de funcție având ca domeniu numerele naturale. Uneori scriem o secvență sub forma ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} {\displaystyle (a_{n})}, unde a n {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle a_{n}} reprezintă al n-lea termen al secvenței.

De exemplu, regula ar putea fi că lucrul de pe locul n este numărul 2×n (2 ori n). Acest lucru ne spune care este întreaga secvență, chiar dacă aceasta nu se termină niciodată. Primul număr este 2×1, care este 2. Al doilea număr este 2×2, adică 4. Dacă vrem să știm care este al 100-lea număr, putem calcula pur și simplu 2×100 și obținem 200. Indiferent de ce lucru din secvență dorim, regula ne poate spune care este acesta.


 

Tipuri de secvențe

Progresii aritmetice (AP)

Într-o progresie aritmetică, diferența dintre un termen și termenul care îl precede este întotdeauna o constantă.

Exemplu: 4 , 9 , 14 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5, și așa mai departe.

Deci, dacă luăm primul termen ca a și diferența constantă ca D, atunci formula generală pentru secvența aritmetică este a n = a + ( n - 1 ) D {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D} {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D}, unde n este numărul de termeni.

Progresii geometrice (GP)

Într-o progresie geometrică, raportul dintre un termen și termenul care îl precede este întotdeauna constant.

Exemplu: 3 , 6 , 6 , 12 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , ... {\displaystyle 3,6,12,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2, și așa mai departe.

Deci, dacă luăm a ca fiind primul termen și r ca fiind raportul, atunci formula generală pentru progresia geometrică este a n = a r n - 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}. {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}, unde n este numărul de termeni.

Progresii armonice (HP)

Într-o progresie armonică, diferența dintre reciproca unui termen și reciproca termenului anterior este o constantă.

Exemplu: 3 , 1.5 , 1 , 3 4 , 3 5 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , ... {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 / 1.5 ) - ( 1 / 3 ) = 1 3 , ( 1 / 1 ) - ( 1 / 1.5 ) = 1 3 , ( 1 / 3 4 ) - ( 1 / 1 ) = 1 3 {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}}},\,\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}}},\,\,\,\,\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}}}}(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}}}}}(1/1) {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}și așa mai departe.



 

Seria

O serie este suma tuturor termenilor unei secvențe.

Formula generală de calcul a sumei secvenței aritmetice este

S = n 2 [ 2 a + ( n - 1 ) d ] {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}

Cea a unei secvențe geometrice este S = a 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}. {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}, dacă secvența este infinită, și S = a ( 1 - r n ) 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}. {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}, dacă este finită.

Aici, a este primul termen, d este diferența comună în secvența aritmetică, r este raportul în secvența geometrică și n este numărul de termeni.



 

Pagini conexe

  • Secvența Cauchy
  • Limita unei secvențe
  • Seria
 

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o secvență?


R: O secvență este un set de evenimente, mișcări sau elemente legate între ele, care se succed într-o anumită ordine.

Î: Cum se utilizează?


R: Este utilizată în matematică și în alte discipline. În utilizarea obișnuită, înseamnă o serie de evenimente, unul după altul.

Î: Care sunt cele două tipuri de secvențe?


R: Cele două tipuri de secvențe sunt secvențele finite, care au un sfârșit, și secvențele infinite, care nu se termină niciodată.

Î: Puteți da un exemplu de secvență infinită?


R: Un exemplu de secvență infinită este secvența tuturor numerelor pare mai mari decât 0. Această secvență nu se termină niciodată; ea începe cu 2, 4, 6 și așa mai departe.

Î: Cum putem scrie o secvență infinită?


R: Putem scrie o secvență infinită prin scrierea unei reguli pentru a găsi lucrul în orice loc dorit. Regula ar trebui să ne spună cum să obținem lucrul în al n-lea loc, unde n poate fi orice număr natural.

Î: Ce reprezintă (a_n) atunci când se scrie o secvență?


R: (a_n) reprezintă al n-lea termen al secvenței.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3