În matematică, funcția exponențială este o funcție care crește din ce în ce mai repede. Mai exact, este funcția 
, unde e este constanta lui Euler, un număr irațional care este aproximativ 2,71828.
Definiții echivalente
- Definiție prin serie: exp(x) se definește prin seria Σ_{k=0}^{∞} x^k / k!, adică exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + … . Această serie converge pentru orice x ∈ ℝ (și, de fapt, pentru orice x ∈ ℂ).
- Definiție prin limită: exp(x) = lim_{n→∞} (1 + x/n)^n.
- Definiție funcțională: exp(x+y) = exp(x)·exp(y) și exp′(0) = 1; aceste proprietăți determină funcția exponențială în mod unic.
Proprietăți de bază
- Domain: toți numerele reale, adică ℝ. Range: (0, ∞) — exp(x) este întotdeauna pozitivă și niciodată zero.
- Monotonie: exp(x) este strict crescătoare pe ℝ.
- Convexitate: exp(x) este strict convexă pe ℝ.
- Identități importante:
- exp(0) = 1
- exp(x+y) = exp(x)·exp(y)
- exp(-x) = 1/exp(x)
- exp(nx) = (exp(x))^n pentru orice întreg n
- Limite: lim_{x→-∞} exp(x) = 0 și lim_{x→+∞} exp(x) = +∞.
Derivate și integrale
- Derivata: d/dx exp(x) = exp(x). Funcția este singura (peste funcțiile suficient de regulate) care este egală cu propria derivată.
- Integrală: ∫ exp(x) dx = exp(x) + C.
- Mai general, pentru constante a,b: d/dx exp(ax+b) = a·exp(ax+b), iar ∫ exp(ax+b) dx = (1/a) exp(ax+b) + C (pentru a ≠ 0).
Suma în serie și convergența
Seria Taylor centrată în 0 este exp(x) = Σ_{k=0}^∞ x^k/k!, care converge uniform pe orice interval compact și definește o funcție entire (adică derivabilă analitic pe toată linia complexă).
Logaritmul invers și ecuații exponentiale
- Funcția inversă a exp este logaritmul natural ln: dacă y = exp(x) atunci x = ln(y). Domainul ln este (0, ∞).
- Pentru rezolvarea ecuațiilor de forma exp(x) = a (a>0) avem x = ln(a).
- Generalizare: pentru orice bază a>0, a ≠ 1, a^x = exp(x·ln a).
Extinderea la numere complexe
Pe ℂ, exp(z) este definită prin aceeași serie și are proprietăți similare. Un rezultat fundamental este formula lui Euler: exp(iθ) = cos θ + i sin θ, care leagă exponentiala complexă de funcțiile trigonometrice.
Aplicații
- Modelare a creșterii/exponențiale: procese ca populația într-un model fără resurse limitate sau dobânda compusă continuu: A(t)=A₀ exp(rt).
- Ecuatii diferențiale: soluțiile ecuațiilor liniare cu coeficienți constanți apar frecvent ca exp(kt). Exemplu: dy/dt = k y ⇒ y(t) = y(0) exp(kt).
- Decădere radioactivă: N(t) = N₀ exp(-λ t); timpul de înjumătățire t_{1/2} = ln 2 / λ.
- Finanțe: dobânda compusă continuu: A = P exp(rt) (limită a dobânzii compuse pe perioade n → ∞).
- Analiză complexă și fizică: modularea undelor, transformata Laplace/Fourier, ecuațiile de evoluție liniare și multe formule din fizică (de ex. distribuții statistice, funcții de transfer).
Exemple numerice și observații practice
- Valori: exp(1) ≈ 2,718281828…, exp(2) ≈ 7,389056…, exp(-1) ≈ 0,367879…
- Pentru calcul numeric se folosesc funcții dedicate (de ex. exp în bibliotecile de calcul), iar seria Taylor sau metodele algoritmice rapide permit evaluarea foarte precisă pentru orice x.
Scurtă recapitulare
Funcția exponențială exp(x) = e^x este o funcție definitorie în analiză și aplicații: este pozitivă, monotonic crescătoare, egală cu propria derivată, are seria Taylor convergentă pe toată axa reală și apare în mod natural în modele de creștere/decădere, în soluții de ecuații diferențiale și în analiza complexă.
