Funcția exponențială | funcție care crește din ce în ce mai repede

Proprietăți

Deoarece funcțiile exponențiale utilizează exponențializarea, acestea urmează aceleași reguli de exponenți. Astfel,

e x + y = exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x e y {\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}}} .

Aceasta urmează regula că x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}. .

Logaritmul natural este operația inversă a unei funcții exponențiale, unde:

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \lnn(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}}{\frac {\log(e)}}}

Funcția exponențială satisface o proprietate interesantă și importantă în calculul diferențial:

d d d x e x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

Acest lucru înseamnă că panta funcției exponențiale este însăși funcția exponențială și, ca urmare, are o pantă de 1 la x = 0 {\displaystyle x=0} . Aceste proprietăți sunt motivul pentru care este o funcție importantă în matematică.

 

Aplicații

Funcția exponențială generală, în care baza nu este neapărat e {\displaystyle e} , este una dintre cele mai utile funcții matematice. Este utilizată pentru a reprezenta creșterea exponențială, care are utilizări în aproape toate disciplinele științifice și este, de asemenea, importantă în domeniul financiar. O altă aplicație a funcției exponențiale este descreșterea exponențială, care apare în cazul descompunerii radioactive și al absorbției luminii.

Un exemplu de funcție exponențială în viața reală ar fi dobânda la o bancă. Dacă o persoană depune 100 de lire sterline într-un cont care primește o dobândă de 3% pe lună, atunci soldul din fiecare lună (presupunând că banii sunt neatinși) ar fi următorul:

Luna	Balanță	Luna	Balanță
Ianuarie	£100.00	Iulie	£119.41
Februarie	£103.00	August	£122.99
Martie	£106.09	Septembrie	£126.68
Aprilie	£109.27	Octombrie	£130.48
Mai	£112.55	Noiembrie	£134.39
Iunie	£115.93	Decembrie	£138.42

Aici, observați cum banii în plus din dobândă cresc în fiecare lună, în sensul că, cu cât soldul inițial este mai mare, cu atât mai multă dobândă va primi persoana respectivă.

Două exemple matematice de funcții exponențiale (cu baza a) sunt prezentate mai jos.

 

Relația cu constanta matematică e

Chiar dacă baza ( a {\displaystyle a} ) poate fi orice număr mai mare decât zero, de exemplu, 10 sau 1/2, adesea este un număr special numit e. Numărul e nu poate fi scris cu exactitate, dar este aproape egal cu 2,71828.

Numărul e este important pentru fiecare funcție exponențială. De exemplu, o bancă plătește o dobândă de 0,01% în fiecare zi. O persoană își ia banii de dobândă și îi pune într-o cutie. După 10.000 de zile (aproximativ 30 de ani), are de 2 ori mai mulți bani decât la început. O altă persoană își ia banii cu dobândă și îi pune înapoi în bancă. Deoarece banca îi plătește acum dobândă pentru dobânda sa, suma de bani este o funcție exponențială.

De fapt, după 10.000 de zile, el nu are de 2 ori mai mulți bani decât la început, ci de 2,718145 ori mai mulți bani decât la început. Acest număr este foarte apropiat de numărul e. Dacă banca plătește dobânda mai des, astfel încât suma plătită de fiecare dată să fie mai mică, atunci numărul va fi mai apropiat de numărul e.

O persoană poate, de asemenea, să se uite la imagine pentru a vedea de ce numărul e este important pentru funcțiile exponențiale. Imaginea are trei curbe diferite. Curba cu puncte negre este o funcție exponențială cu o bază ușor mai mică decât e. Curba cu linii negre scurte este o funcție exponențială cu o bază ușor mai mare decât e. Curba albastră este o funcție exponențială cu o bază exact egală cu e. Linia roșie este tangentă la curba albastră. Ea atinge curba albastră într-un punct fără a o intersecta. O persoană poate vedea că curba roșie traversează axa x, linia care merge de la stânga la dreapta la -1. Acest lucru este valabil numai pentru curba albastră. Acesta este motivul pentru care funcția exponențială cu baza e este specială.

 
e este unicul număr a, astfel încât valoarea derivatei funcției exponențiale f (x) = ax (curba albastră) în punctul x = 0 să fie exact 1. Pentru comparație, sunt prezentate funcțiile 2x (curba punctată) și 4x (curba punctată); acestea nu sunt tangente la dreapta cu panta 1 (roșie).  

Pagini conexe

• Logaritm