Identitatea lui Euler

Demonstrația matematică a identității lui Euler folosind serii Taylor

Multe ecuații pot fi scrise ca o serie de termeni care se adună. Aceasta se numește serie Taylor

Funcția exponențială e x {\displaystyle e^{x}} poate fi scrisă ca serie Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \ peste {2!}}+{x^{3} \ peste {3!}}+{x^{4} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \ peste n!}}

De asemenea, sinusul poate fi scris ca

sin x = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ peste 3!}+{x^{5} \ peste 5!}-{x^{7} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \ peste (2n+1)!}{x^{2n+1}}}{x^{2n+1}}

și Cosinus ca

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ peste 2!}+{x^{4} \ peste 4!}-{x^{6} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} pe (2n)!}{x^{2n}}}

Aici, vedem că se formează un tipar. e x {\displaystyle e^{x}} pare a fi o sumă a seriei Taylor a sinusului și cosinusului, doar că toate semnele au fost schimbate în pozitive. Identitatea pe care o demonstrăm de fapt este e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Deci, în partea stângă este e i x {\displaystyle e^{ix}} a cărei serie Taylor este 1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \su 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \cdots }

Putem observa un model aici, că fiecare al doilea termen este de i ori termenii sinusului, iar ceilalți termeni sunt termenii cosinusului.

Pe partea dreaptă este cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , a cărei serie Taylor este seria Taylor a cosinusului, plus i ori seria Taylor a sinusului, care poate fi reprezentată astfel:

( 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

dacă adunăm aceste valori, avem

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \su 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \cdots }

Prin urmare:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Acum, dacă înlocuim x cu π {\displaystyle \pi } , avem..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Atunci știm că

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

și

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Prin urmare:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED