AlegsaOnline.com

Identitatea lui Euler

Autor: Leandro Alegsa

17-05-2021

Identitatea lui Euler, numită uneori ecuația lui Euler, este această ecuație:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Numărul lui Euler

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , unitate imaginară

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Identitatea lui Euler este denumită după matematicianul elvețian Leonard Euler. Nu este clar dacă acesta a inventat-o el însuși.

Respondenții la un sondaj Physics World au numit identitatea "cea mai profundă afirmație matematică scrisă vreodată", "stranie și sublimă", "plină de frumusețe cosmică" și "uluitoare".

Demonstrația matematică a identității lui Euler folosind serii Taylor

Multe ecuații pot fi scrise ca o serie de termeni care se adună. Aceasta se numește serie Taylor

Funcția exponențială e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ poate fi scrisă ca serie Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \ peste {2!}}+{x^{3} \ peste {3!}}+{x^{4} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \ peste n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

De asemenea, sinusul poate fi scris ca

sin x = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ peste 3!}+{x^{5} \ peste 5!}-{x^{7} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \ peste (2n+1)!}{x^{2n+1}}}{x^{2n+1}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

și Cosinus ca

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ peste 2!}+{x^{4} \ peste 4!}-{x^{6} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} pe (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Aici, vedem că se formează un tipar. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ pare a fi o sumă a seriei Taylor a sinusului și cosinusului, doar că toate semnele au fost schimbate în pozitive. Identitatea pe care o demonstrăm de fapt este e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Deci, în partea stângă este e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ a cărei serie Taylor este 1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \su 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Putem observa un model aici, că fiecare al doilea termen este de i ori termenii sinusului, iar ceilalți termeni sunt termenii cosinusului.

Pe partea dreaptă este cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , a cărei serie Taylor este seria Taylor a cosinusului, plus i ori seria Taylor a sinusului, care poate fi reprezentată astfel:

( 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

dacă adunăm aceste valori, avem

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \su 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Prin urmare:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Acum, dacă înlocuim x cu π {\displaystyle \pi } $\pi$ , avem..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Atunci știm că

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

și

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Prin urmare:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este identitatea lui Euler?

R: Identitatea lui Euler, denumită uneori ecuația lui Euler, este o ecuație care prezintă constantele matematice pi, numărul lui Euler și unitatea imaginară împreună cu trei dintre operațiile matematice de bază (adunare, înmulțire și exponențiere). Ecuația este e^(i*pi) + 1 = 0.

Î: Cine a fost Leonard Euler?

R: Leonard Euler a fost un matematician elvețian căruia îi poartă numele identitatea. Nu este clar dacă a inventat-o el însuși.

Î: Care sunt unele dintre reacțiile la identitatea lui Euler?

R: Cei care au răspuns la un sondaj Physics World au numit identitatea "cea mai profundă afirmație matematică scrisă vreodată", "stranie și sublimă", "plină de frumusețe cosmică" și "uluitoare".

Î: Care sunt unele dintre constantele care apar în această ecuație?

R: Constantele care apar în această ecuație sunt pi (aproximativ 3,14159), numărul lui Euler (aproximativ 2,71828) și o unitate imaginară (egală cu -1).

Î: Care sunt unele dintre operațiile prezentate în această ecuație?

R: Operațiile care apar în această ecuație sunt adunarea, înmulțirea și exponențierea.

Î: Cum putem exprima matematic pi?

R: Pi poate fi exprimat matematic ca π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}.

Î: Cum putem exprima matematic numărul lui Euler? R: Numărul lui Euler poate fi exprimat matematic sub forma e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828}.