Serie Taylor

O serie Taylor este o idee utilizată în informatică, calcul, chimie, fizică și alte tipuri de matematică de nivel superior. Este o serie care este utilizată pentru a crea o estimare (presupunere) a modului în care arată o funcție. Există, de asemenea, un tip special de serie Taylor numită serie Maclaurin.

Teoria din spatele seriei Taylor este că, dacă se alege un punct pe planul de coordonate (axele x și y), atunci este posibil să se ghicească cum va arăta o funcție în zona din jurul acelui punct. Acest lucru se face luând derivatele funcției și adunându-le pe toate. Ideea este că este posibil să se adune un număr infinit de derivate și să se obțină o singură sumă finită.

În matematică, o serie Taylor prezintă o funcție ca sumă a unei serii infinite. Termenii sumei sunt luați din derivatele funcției. Seriile Taylor provin din teorema lui Taylor.

Zoom

O animație care arată cum poate fi utilizată o serie Taylor pentru a aproxima o funcție. Linia albastră arată funcția exponențială f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}. {\displaystyle f(x)=e^{x}}. Liniile roșii arată suma a n derivate - adică n+1 termeni din seria Taylor. Pe măsură ce n crește, linia roșie se apropie de linia albastră.

Istoric

Filozoful grec antic Zenon din Elea a fost primul care a venit cu ideea acestei serii. Paradoxul numit "parodoxul lui Zenon" este rezultatul. El credea că ar fi imposibil să aduni un număr infinit de valori și să obții ca rezultat o singură valoare finită.

Un alt filozof grec, Aristotel, a venit cu un răspuns la această întrebare filozofică. Cu toate acestea, Arhimede a fost cel care a venit cu o soluție matematică, folosind metoda sa de epuizare. El a reușit să demonstreze că, atunci când ceva este împărțit într-un număr infinit de bucăți mici, acestea vor forma un singur întreg atunci când sunt adunate din nou. Vechiul matematician chinez Liu Hui a demonstrat același lucru câteva sute de ani mai târziu.

Cele mai vechi exemple cunoscute ale seriei Taylor sunt lucrările lui Mādhava din Sañgamāgrama, în India, în anii 1300. Mai târziu, matematicienii indieni au scris despre munca sa cu funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și arctangentă. Niciuna dintre scrierile sau înregistrările lui Mādhava nu mai există astăzi. Alți matematicieni s-au bazat pe descoperirile lui Mādhava și au lucrat mai mult cu aceste serii până în anii 1500.

James Gregory, un matematician scoțian, a lucrat în acest domeniu în anii 1600. Gregory a studiat seriile Taylor și a publicat mai multe serii Maclaurin. În 1715, Brook Taylor a descoperit o metodă generală de aplicare a seriei la toate funcțiile. (Toate cercetările anterioare arătau cum să aplice metoda doar la funcții specifice). Colin Maclaurin a publicat un caz special al seriei Taylor în anii 1700. Această serie, care se bazează în jurul valorii zero, se numește seria Maclaurin.

Definiție

O serie Taylor poate fi utilizată pentru a descrie orice funcție ƒ(x) care este o funcție netedă (sau, în termeni matematici, "infinit diferențiabilă"). Seria Taylor este apoi utilizată pentru a descrie cum arată funcția în vecinătatea unui anumit număr a.

Această serie Taylor, scrisă ca o serie de puteri, arată astfel:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}}(x-a)^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

Această formulă poate fi, de asemenea, scrisă în notație sigma ca:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Aici n! este factorialul lui n. ƒ (n)(a) este a n-a derivată a lui ƒ în punctul a. a {\displaystyle a}a este un număr din domeniul funcției. În cazul în care seria Taylor a unei funcții este egală cu funcția respectivă, funcția se numește "funcție analitică".

Seria Maclaurin

Când a = 0 {\displaystyle a=0} {\displaystyle a=0}, funcția se numește serie Maclaurin. Seria Maclaurin scrisă ca o serie de puteri arată astfel:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

Când este scrisă în notație sigma, seria Maclaurin este:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Serii Taylor comune

Unele serii Taylor și Maclaurin importante sunt următoarele.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ pentru toate x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}}-\cdots {\text{ pentru toate }}x\! } {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ pentru toate x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-\cdots {\text{ pentru toate }}x\! } {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pentru toate x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ pentru toate }}x\! } {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pentru toate x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2n)!}}x^{2n}{\text{ pentru toate }}x\! } {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pentru toate x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ pentru toate }}x\! } {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pentru toate | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ pentru toate }}|x|<1} {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n + 1 n x n pentru toate | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{{n}{{text{ pentru toate }}|x|<1} {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\frac {\pi }{2}}\! } {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

Unde B n {\displaystyle B_{n}}{\displaystyle B_{n}} este al n-lea număr Bernoulli, iar ln {\displaystyle \lnn } {\displaystyle \ln }este logaritmul natural.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o serie Taylor?


R: O serie Taylor este o idee utilizată în informatică, calcul, chimie, fizică și alte tipuri de matematică de nivel superior. Este o serie care este utilizată pentru a crea o estimare (presupunere) a modului în care arată o funcție.

Î: Care este diferența dintre seria Taylor și seria Maclaurin?


R: Există, de asemenea, un tip special de serie Taylor numită serie Maclaurin.

Î: Care este teoria din spatele seriei Taylor?


R: Teoria din spatele seriei Taylor constă în faptul că, dacă se alege un punct pe planul de coordonate (axele x și y), atunci este posibil să se ghicească cum va arăta o funcție în zona din jurul acelui punct.

Î: Cum este creată funcția cu ajutorul seriei Taylor?


R: Acest lucru se face prin luarea derivatelor funcției și prin adăugarea tuturor acestora. Ideea este că este posibil să se adune numărul infinit de derivate și să se obțină o singură sumă finită.

Î: Ce arată o serie Taylor în matematică?


R: În matematică, o serie Taylor arată o funcție ca sumă a unei serii infinite. Termenii sumei sunt luați din derivatele funcției.

Î: De unde provin seriile Taylor?


R: Seriile Taylor provin din teorema lui Taylor.

Î: În ce domenii se utilizează în mod obișnuit seria Taylor?


R: Seria Taylor este utilizată în mod obișnuit în informatică, calcul, chimie, fizică și alte tipuri de matematică de nivel superior.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3