Serie Taylor

Filozoful grec antic Zenon din Elea a fost primul care a venit cu ideea acestei serii. Paradoxul numit "parodoxul lui Zenon" este rezultatul. El credea că ar fi imposibil să aduni un număr infinit de valori și să obții ca rezultat o singură valoare finită.

Un alt filozof grec, Aristotel, a venit cu un răspuns la această întrebare filozofică. Cu toate acestea, Arhimede a fost cel care a venit cu o soluție matematică, folosind metoda sa de epuizare. El a reușit să demonstreze că, atunci când ceva este împărțit într-un număr infinit de bucăți mici, acestea vor forma un singur întreg atunci când sunt adunate din nou. Vechiul matematician chinez Liu Hui a demonstrat același lucru câteva sute de ani mai târziu.

Cele mai vechi exemple cunoscute ale seriei Taylor sunt lucrările lui Mādhava din Sañgamāgrama, în India, în anii 1300. Mai târziu, matematicienii indieni au scris despre munca sa cu funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și arctangentă. Niciuna dintre scrierile sau înregistrările lui Mādhava nu mai există astăzi. Alți matematicieni s-au bazat pe descoperirile lui Mādhava și au lucrat mai mult cu aceste serii până în anii 1500.

James Gregory, un matematician scoțian, a lucrat în acest domeniu în anii 1600. Gregory a studiat seriile Taylor și a publicat mai multe serii Maclaurin. În 1715, Brook Taylor a descoperit o metodă generală de aplicare a seriei la toate funcțiile. (Toate cercetările anterioare arătau cum să aplice metoda doar la funcții specifice). Colin Maclaurin a publicat un caz special al seriei Taylor în anii 1700. Această serie, care se bazează în jurul valorii zero, se numește seria Maclaurin.

O serie Taylor poate fi utilizată pentru a descrie orice funcție ƒ(x) care este o funcție netedă (sau, în termeni matematici, "infinit diferențiabilă"). Seria Taylor este apoi utilizată pentru a descrie cum arată funcția în vecinătatea unui anumit număr a.

Această serie Taylor, scrisă ca o serie de puteri, arată astfel:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Această formulă poate fi, de asemenea, scrisă în notație sigma ca:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Aici n! este factorialul lui n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) este a n-a derivată a lui ƒ în punctul a. a {\displaystyle a} este un număr din domeniul funcției. În cazul în care seria Taylor a unei funcții este egală cu funcția respectivă, funcția se numește "funcție analitică".

Seria Maclaurin

Când a = 0 {\displaystyle a=0} , funcția se numește serie Maclaurin. Seria Maclaurin scrisă ca o serie de puteri arată astfel:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Când este scrisă în notație sigma, seria Maclaurin este:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Unele serii Taylor și Maclaurin importante sunt următoarele.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ pentru toate x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}}-\cdots {\text{ pentru toate }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ pentru toate x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-\cdots {\text{ pentru toate }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pentru toate x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ pentru toate }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pentru toate x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2n)!}}x^{2n}{\text{ pentru toate }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pentru toate x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ pentru toate }}x\! }

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pentru toate | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ pentru toate }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n + 1 n x n pentru toate | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{{n}{{text{ pentru toate }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\frac {\pi }{2}}\! }

Unde B n {\displaystyle B_{n}} este al n-lea număr Bernoulli, iar ln {\displaystyle \lnn } este logaritmul natural.