Derivată (matematică) | este o modalitate de a arăta rata instantanee de schimbare

Derivata lui y în raport cu x este definită ca fiind variația lui y în raport cu variația lui x, pe măsură ce distanța dintre x 0 {\displaystyle x_{0}} și x 1 {\displaystyle x_{1}} devine infinit de mică (infinitezimală). În termeni matematici,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}}}

Adică, pe măsură ce distanța dintre cele două puncte x (h) se apropie de zero, panta dreptei dintre ele se apropie de o tangentă.

Funcții liniare

Derivatele funcțiilor liniare (funcții de forma m x + c {\displaystyle mx+c} fără termeni pătratici sau superiori) sunt constante. Altfel spus, derivata într-un punct al graficului va rămâne aceeași într-un alt punct.

Atunci când variabila dependentă y {\displaystyle y} ia direct valoarea lui x {\displaystyle x} ( y = x {\displaystyle y=x} ), panta dreptei este 1 în toate locurile, astfel încât d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}(x)=1}} indiferent de locul în care se află poziția.

Atunci când y {\displaystyle y} modifică numărul lui x {\displaystyle x} prin adăugarea sau scăderea unei valori constante, panta este tot 1, deoarece modificarea lui x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} nu se schimbă dacă graficul este deplasat în sus sau în jos. Altfel spus, panta este tot 1 pe tot parcursul graficului, iar derivata sa este, de asemenea, 1.

Funcții de putere

Funcțiile de putere (sub forma x a {\displaystyle x^{a}} ) se comportă diferit de funcțiile liniare, deoarece exponentul și panta lor variază.

Funcțiile de putere, în general, urmează regula că d d d x x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}}=ax^{a-1}}. . Altfel spus, dacă dăm lui a numărul 6, atunci d d d x x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}.

Un alt exemplu, care este mai puțin evident, este funcția f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} . Aceasta este, în esență, aceeași, deoarece 1/x poate fi simplificată pentru a utiliza exponenți:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

În plus, rădăcinile pot fi modificate pentru a utiliza exponenți fracționari, unde se poate găsi derivata lor:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Funcții exponențiale

O funcție exponențială este de forma a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}}}. , unde a {\displaystyle a} și b {\displaystyle b} sunt constante, iar f ( x ) {\displaystyle f(x)} este o funcție de x {\displaystyle x} . Diferența dintre o exponențială și un polinom este că într-un polinom x {\displaystyle x} este ridicat la o anumită putere, în timp ce într-o exponențială x {\displaystyle x} este la o putere.

Exemplul 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Exemplul 2

Găsiți d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Prin urmare,

d d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\drept)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\drept)=\ln \left(2\drept)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}}

Funcții logaritmice

Derivata logaritmilor este reciproca:

d d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\lnn(x)={\frac {1}{x}}} .

Să luăm, de exemplu, d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . Acest lucru poate fi redus la (prin proprietățile logaritmilor):

d d d x ( ln ( 5 ) ) - d d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}}(\ln(x))}

Logaritmul lui 5 este o constantă, deci derivata sa este 0. Derivata lui ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} este 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Deci,

0 - d d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\lnn(x)=-{\frac {1}{x}}}}

Pentru derivatele logaritmilor care nu sunt în baza e, cum ar fi d d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , aceasta poate fi redusă la:

d d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\fracție {d}{dx}}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}}}

Funcții trigonometrice

Funcția cosinus este derivata funcției sinus, în timp ce derivata cosinusului este sinusul negativ (cu condiția ca x să fie măsurat în radiani):

d d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\sec(x)\tan(x)} .
 

Instrumentele derivate pot fi împărțite în părți mai mici, în cazul în care acestea sunt gestionabile (deoarece au doar una dintre caracteristicile funcționale de mai sus). De exemplu, d d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}(3x^{6}+x^{2}-6)} poate fi împărțită astfel:

d d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

Derivata unei funcții poate fi utilizată pentru a căuta maximele și minimele funcției, căutând locurile în care panta acesteia este zero.

Derivatele sunt utilizate în metoda lui Newton, care ajută la găsirea zerourilor (rădăcinilor) unei funcții..De asemenea, se pot utiliza derivatele pentru a determina concavitatea unei funcții și dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare.

• Coeficientul de diferență
• Teorema fundamentală a calculului
• Derivată implicită
• Integral
• Derivată parțială
• A doua derivată