Metoda tangentei | o modalitate de a găsi zerourile reale ale unei funcții

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 20 mai 2021

Metoda lui Newton oferă o modalitate de a găsi zerourile reale ale unei funcții. Acest algoritm este numit uneori metoda Newton-Raphson, numită după Sir Isaac Newton și Joseph Raphson.

Metoda utilizează derivata funcției pentru a găsi rădăcinile acesteia. Trebuie să se facă o "presupunere" inițială pentru localizarea zero-ului. Pornind de la această valoare, se calculează o nouă presupunere prin această formulă:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Aici x_n este presupunerea inițială, iar x_n+1 este următoarea presupunere. Funcția f (al cărei zero se rezolvă) are derivata f'.

Aplicând în mod repetat această formulă la presupunerile generate (adică prin stabilirea valorii lui x_n la valoarea de ieșire a formulei și prin recalculare), valoarea presupunerilor se va apropia de un zero al funcției.

Metoda lui Newton poate fi explicată grafic prin examinarea intersecțiilor dreptelor tangente cu axa x. În primul rând, se calculează o dreaptă tangentă la f la x_n . Apoi, se găsește intersecția dintre această linie tangentă și axa x. În cele din urmă, poziția x a acestei intersecții este înregistrată ca următoarea presupunere, x_n+1 .

Funcția (albastră) este utilizată pentru a calcula panta unei drepte tangente (roșie) la xn .

Probleme cu metoda lui Newton

Metoda lui Newton poate găsi rapid o soluție dacă valoarea presupusă începe suficient de aproape de rădăcina dorită. Cu toate acestea, atunci când valoarea presupusă inițial nu este apropiată și în funcție de funcție, metoda Newton poate găsi răspunsul încet sau deloc.

Pagini conexe

Teorema lui Kantorovici (Afirmație despre convergența metodei lui Newton, găsită de Leonid Kantorovici)

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este metoda lui Newton?

R: Metoda lui Newton este un algoritm pentru găsirea zerourilor reali ai unei funcții. Aceasta utilizează derivata funcției pentru a calcula rădăcinile acesteia și necesită o valoare inițială pentru localizarea zero-ului.

Î: Cine a dezvoltat această metodă?

R: Metoda a fost dezvoltată de Sir Isaac Newton și Joseph Raphson, de aceea este numită uneori metoda Newton-Raphson.

Î: Cum funcționează acest algoritm?

R: Acest algoritm funcționează prin aplicarea în mod repetat a unei formule care preia o valoare inițială de presupunere (xn) și calculează o nouă presupunere (xn+1). Prin repetarea acestui proces, presupunerile se vor apropia de un zero al funcției.

Î: Ce este necesar pentru a utiliza acest algoritm?

R: Pentru a utiliza acest algoritm, trebuie să aveți o "valoare inițială de presupunere" pentru locația zero-ului, precum și cunoștințe despre derivata funcției date.

Î: Cum putem explica grafic metoda lui Newton?

R: Putem explica grafic Metoda lui Newton analizând intersecțiile dintre liniile tangente cu axa x. În primul rând, se calculează o dreaptă tangentă la f la xn. Apoi, găsim intersecția dintre această dreaptă tangentă și axa x și înregistrăm poziția sa în x ca următoarea presupunere - xn+1.

Î: Există vreo limitare la utilizarea metodei lui Newton?

R: Da, în cazul în care valoarea inițială estimată este prea departe de rădăcina reală, este posibil să dureze mai mult timp sau chiar să nu reușească să converge către rădăcină din cauza oscilațiilor în jurul acesteia sau a divergenței față de ea.