Integrală

În calcul, o integrală este spațiul de sub graficul unei ecuații (uneori denumită "aria de sub o curbă"). O integrală este reversul unei derivate și este opusul calculului diferențial. O derivată reprezintă abruptul (sau "panta"), ca rată de variație, a unei curbe. Cuvântul "integrală" poate fi folosit și ca adjectiv care înseamnă "legat de numere întregi".

Simbolul pentru integrare, în calcul, este: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ ca o literă înaltă "S". Acest simbol a fost folosit pentru prima dată de Gottfried Wilhelm Leibniz, care l-a folosit sub forma unui "ſ" stilizat (de la summa, suma în latină) pentru a desemna suma suprafeței acoperite de o ecuație, cum ar fi y = f(x).

Integralele și derivatele fac parte dintr-o ramură a matematicii numită calcul. Legătura dintre acestea două este foarte importantă și se numește Teorema fundamentală a calculului. Teorema spune că o integrală poate fi inversată de o derivată, la fel cum o adunare poate fi inversată de o scădere.

Integrarea este utilă atunci când se încearcă multiplicarea unităților într-o problemă. De exemplu, dacă o problemă cu rata, ( distanța timp ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distanță}}{\text{timp}}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , are nevoie de un răspuns doar cu distanța, o soluție este integrarea în raport cu timpul. Acest lucru înseamnă înmulțirea în timp pentru a anula timpul în ( distanța timp ) × timp {\displaystyle \left({\frac {\text{distanță}}{\text{timp}}}\dreapta)\times {\text{timp}}}}. $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Acest lucru se realizează prin adăugarea de mici porțiuni din graficul de viteză. Lățimea feliilor este apropiată de zero, dar adunarea lor la nesfârșit le face să se adune într-un întreg. Acest lucru se numește sumă Riemann.

Adăugând aceste felii împreună, se obține ecuația a cărei derivată este prima ecuație. Integralele sunt ca o modalitate de a aduna manual mai multe lucruri mici. Este ca și adunarea, care constă în a aduna 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Diferența față de integrare este că trebuie să adăugăm și toate zecimalele și fracțiile dintre ele.

Un alt moment în care integrarea este utilă este atunci când se găsește volumul unui solid. Ea poate adăuga la nesfârșit felii bidimensionale (fără lățime) ale solidului până când există o lățime. Acest lucru înseamnă că obiectul are acum trei dimensiuni: cele două originale și o lățime. Astfel se obține volumul obiectului tridimensional descris.

Ce este integrala (animație)

Integrarea constă în găsirea suprafeței s, date fiind a, b și y = f(x). Formula pentru integrala de la a la b, reprezentată grafic mai sus, este:
Formula: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Metode de integrare

Antiderivată

Prin teorema fundamentală a calculului, integrala este antiderivata.

Dacă luăm funcția 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ , de exemplu, și o antidiferențiem, putem spune că o integrală a lui 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ este x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Spunem o integrală, nu integrala, deoarece antiderivata unei funcții nu este unică. De exemplu, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ se diferențiază, de asemenea, în 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Din acest motiv, atunci când se ia antiderivata, trebuie adăugată o constantă C. Aceasta se numește integrală nedeterminată. Acest lucru se datorează faptului că atunci când se găsește derivata unei funcții, constantele sunt egale cu 0, ca în cazul funcției

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Observați 0: nu-l putem găsi dacă avem doar derivata, deci integrala este

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Ecuații simple

O ecuație simplă, cum ar fi y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ poate fi integrată în raport cu x folosind următoarea tehnică. Pentru a integra, se adaugă 1 la puterea la care este ridicat x și apoi se împarte x la valoarea acestei noi puteri. Prin urmare, integrarea unei ecuații normale urmează această regulă: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}}. $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ de la sfârșit arată că integrăm în raport cu x, adică pe măsură ce x se modifică. Acest lucru poate fi considerat ca fiind inversul diferențierii. Cu toate acestea, există o constantă, C, care se adaugă atunci când se integrează. Aceasta se numește constanta de integrare. Aceasta este necesară deoarece diferențierea unui număr întreg are ca rezultat zero, prin urmare integrarea lui zero (care poate fi pus la capătul oricărui integrand) produce un număr întreg, C. Valoarea acestui număr întreg ar fi găsită folosind condițiile date.

Ecuațiile cu mai mult de un termen se integrează pur și simplu prin integrarea fiecărui termen în parte:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 3 x 2 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\},}x^{2}dx+\int _{\,}^{\\},}3xdx-\int _{\,}^{\},}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrarea care implică e și ln

Există anumite reguli de integrare folosind e și logaritmul natural. Cel mai important, e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ este integrala lui însuși (cu adăugarea unei constante de integrare): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}e^{x}dx=e^{x}+C}. $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Logaritmul natural, ln, este util la integrarea ecuațiilor cu 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Acestea nu pot fi integrate cu ajutorul formulei de mai sus (adunarea la puterea 1, împărțirea la puterea 1), deoarece adunarea la puterea 1 produce 0, iar o împărțire la 0 nu este posibilă. În schimb, integrala lui 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ este ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Într-o formă mai generală: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}{f(x)}}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Cele două bare verticale au indicat o valoare absolută; semnul (pozitiv sau negativ) al lui f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) este ignorat. Acest lucru se datorează faptului că nu există o valoare pentru logaritmul natural al numerelor negative.

Proprietăți

Suma funcțiilor

Integrala unei sume de funcții este suma integralelor fiecărei funcții, adică,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Dovada acestui lucru este simplă: Definiția unei integrale este o limită a sumelor. Astfel,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle = {\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle = {\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Observați că ambele integrale au aceleași limite.

Constante în integrare

Atunci când o constantă se află într-o integrală cu o funcție, constanta poate fi scoasă. Mai mult, atunci când o constantă c nu este însoțită de o funcție, valoarea sa este c * x. Adică,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ și

Acest lucru se poate face numai cu o constantă.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Dovada se face din nou prin definiția unei integrale.

Altele

Dacă a, b și c sunt în ordine (adică unul după altul pe axa x), integrala lui f(x) din punctul a în punctul b plus integrala lui f(x) din punctul b în punctul c este egală cu integrala din punctul a în punctul c. Adică,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ dacă sunt în ordine. (Acest lucru este valabil și atunci când a, b, c nu sunt în ordine, dacă definim ∫ a b b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Acest lucru rezultă din teorema fundamentală a calculului (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Din nou, în conformitate cu FTC: F ( b ) - F ( a ) = - - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o integrală?

R: O integrală este spațiul de sub graficul unei ecuații, cunoscut și sub numele de "aria de sub o curbă". Este reversul unei derivate și face parte dintr-o ramură a matematicii numită calcul.

Î: Cum arată simbolul pentru integrare?

R: Simbolul pentru integrare în calcul arată ca o literă înaltă "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Î: Ce legătură există între integrale și derivate?

R: Integralele și derivatele sunt legate de teorema fundamentală a calculului care afirmă că o integrală poate fi inversată de o derivată, la fel cum o adunare poate fi inversată de o scădere.

Î: Când se poate utiliza integrarea?

R: Integrarea poate fi utilizată atunci când se încearcă să se înmulțească unitățile într-o problemă sau atunci când se află volumul unui solid. Aceasta ajută la adunarea feliilor bidimensionale până când există o lățime, ceea ce conferă obiectului trei dimensiuni și volumul acestuia.

Î: În ce fel este integrarea similară cu însumarea?

R: Integrarea este asemănătoare cu însumarea în sensul că adună multe lucruri mici împreună, dar cu integrarea trebuie să adăugăm și toate zecimalele și fracțiunile dintre ele.

Î: Ce înseamnă suma Riemann?

R: O sumă Riemann se referă la adăugarea de mici porțiuni din graficul ratei până când acestea se adună pentru a forma o ecuație întreagă.