Integrală

Antiderivată

Prin teorema fundamentală a calculului, integrala este antiderivata.

Dacă luăm funcția 2 x {\displaystyle 2x} , de exemplu, și o antidiferențiem, putem spune că o integrală a lui 2 x {\displaystyle 2x} este x 2 {\displaystyle x^{2}}. . Spunem o integrală, nu integrala, deoarece antiderivata unei funcții nu este unică. De exemplu, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} se diferențiază, de asemenea, în 2 x {\displaystyle 2x} . Din acest motiv, atunci când se ia antiderivata, trebuie adăugată o constantă C. Aceasta se numește integrală nedeterminată. Acest lucru se datorează faptului că atunci când se găsește derivata unei funcții, constantele sunt egale cu 0, ca în cazul funcției

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} . Observați 0: nu-l putem găsi dacă avem doar derivata, deci integrala este

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} .

Ecuații simple

O ecuație simplă, cum ar fi y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} poate fi integrată în raport cu x folosind următoarea tehnică. Pentru a integra, se adaugă 1 la puterea la care este ridicat x și apoi se împarte x la valoarea acestei noi puteri. Prin urmare, integrarea unei ecuații normale urmează această regulă: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}}.

D x {\displaystyle dx} de la sfârșit arată că integrăm în raport cu x, adică pe măsură ce x se modifică. Acest lucru poate fi considerat ca fiind inversul diferențierii. Cu toate acestea, există o constantă, C, care se adaugă atunci când se integrează. Aceasta se numește constanta de integrare. Aceasta este necesară deoarece diferențierea unui număr întreg are ca rezultat zero, prin urmare integrarea lui zero (care poate fi pus la capătul oricărui integrand) produce un număr întreg, C. Valoarea acestui număr întreg ar fi găsită folosind condițiile date.

Ecuațiile cu mai mult de un termen se integrează pur și simplu prin integrarea fiecărui termen în parte:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 3 x 2 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\},}x^{2}dx+\int _{\,}^{\\},}3xdx-\int _{\,}^{\},}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}}-2x+C}

Integrarea care implică e și ln

Există anumite reguli de integrare folosind e și logaritmul natural. Cel mai important, e x {\displaystyle e^{x}} este integrala lui însuși (cu adăugarea unei constante de integrare): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}e^{x}dx=e^{x}+C}.

Logaritmul natural, ln, este util la integrarea ecuațiilor cu 1 / x {\displaystyle 1/x} . Acestea nu pot fi integrate cu ajutorul formulei de mai sus (adunarea la puterea 1, împărțirea la puterea 1), deoarece adunarea la puterea 1 produce 0, iar o împărțire la 0 nu este posibilă. În schimb, integrala lui 1 / x {\displaystyle 1/x} este ln x {\displaystyle \ln x} : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}

Într-o formă mai generală: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}{f(x)}}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

Cele două bare verticale au indicat o valoare absolută; semnul (pozitiv sau negativ) al lui f ( x ) {\displaystyle f(x)} este ignorat. Acest lucru se datorează faptului că nu există o valoare pentru logaritmul natural al numerelor negative.

Suma funcțiilor

Integrala unei sume de funcții este suma integralelor fiecărei funcții, adică,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} .

Dovada acestui lucru este simplă: Definiția unei integrale este o limită a sumelor. Astfel,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}

= lim n → ∞ ∑ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle = {\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= lim n → ∞ ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle = {\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

Observați că ambele integrale au aceleași limite.

Constante în integrare

Atunci când o constantă se află într-o integrală cu o funcție, constanta poate fi scoasă. Mai mult, atunci când o constantă c nu este însoțită de o funcție, valoarea sa este c * x. Adică,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} și

Acest lucru se poate face numai cu o constantă.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)}

Dovada se face din nou prin definiția unei integrale.

Altele

Dacă a, b și c sunt în ordine (adică unul după altul pe axa x), integrala lui f(x) din punctul a în punctul b plus integrala lui f(x) din punctul b în punctul c este egală cu integrala din punctul a în punctul c. Adică,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} dacă sunt în ordine. (Acest lucru este valabil și atunci când a, b, c nu sunt în ordine, dacă definim ∫ a b b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} .)

∫ a a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} . Acest lucru rezultă din teorema fundamentală a calculului (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} Din nou, în conformitate cu FTC: F ( b ) - F ( a ) = - - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}