Primitivă | procesul de găsire a unei anumite funcții în calcul

Antidiferențierea (numită și integrare nedefinită) este procesul de găsire a unei anumite funcții în calcul. Este opusul diferențierii. Este o modalitate de prelucrare a unei funcții pentru a obține o altă funcție (sau o clasă de funcții) numită antiderivată. Antidiferențierea este ca integrarea - dar fără limite. Acesta este motivul pentru care se numește integrare nedeterminată. Atunci când sunt reprezentate sub formă de litere simple, antiderivatele iau adesea forma unor litere romane majuscule, cum ar fi F și {\displaystyle G} .

În general, o antiderivată se scrie sub forma {\displaystyle \int f(x)\ dx}, unde:




 

Antidiferențiere simplă

O funcție de forma {\displaystyle ax^{n}} poate fi integrată (antidiferențiată) după cum urmează:

  • Adăugați 1 la puterea n, astfel încât {\displaystyle ax^{n}} este acum {\displaystyle ax^{n+1}}.
  • Împărțiți toate acestea la noua putere, astfel încât acum este {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
  • Adăugați constanta {\displaystyle c} , astfel încât acum este {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} .

Acest lucru poate fi prezentat astfel:

{\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} (cunoscută și sub numele de regula puterii integralei)

Atunci când există mai mulți termeni, putem integra întreaga funcție prin integrarea componentelor sale unul câte unul:

{\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Acest lucru funcționează numai dacă piesele sunt adăugate sau eliminate.)

Exemple

{\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Schimbarea fracțiilor și a rădăcinilor în puteri ușurează lucrurile:

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

{\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Integrarea unei paranteze ("regula lanțului")

Pentru a integra o paranteză precum {\displaystyle (2x+4)^{3}}este necesară o metodă diferită. Aceasta se numește regula lanțului. Este ca o integrare simplă, dar funcționează numai dacă x {\displaystyle x din paranteză este liniară (are o putere de 1), cum ar fi x sau {\displaystyle 5x} - dar nu {\displaystyle x^{5}} sau {\displaystyle x^{-7}}.

De exemplu, {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} poate fi determinată în următorii pași:

  • Adăugați 1 la puterea {\displaystyle 3} , astfel încât să fie acum {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Împărțiți toate acestea la noua putere pentru a obține {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Împărțiți toate acestea cu derivata parantezei {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}pentru a obține {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Adăugați constanta {\displaystyle c} pentru a obține {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Exemple

d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ ori 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\pentru că {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} } {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\ ori 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\pentru că {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


 

Pagini conexe

 

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este antidiferențierea?


R: Antidiferențierea (denumită și integrare nedeterminată) este procesul de găsire a unei anumite funcții în calcul. Este opusul diferențierii și implică prelucrarea unei funcții pentru a obține o altă funcție (sau o clasă de funcții) numită antiderivată.

Î: Cum se reprezintă?


R: Atunci când sunt reprezentate ca litere simple, antiderivatele iau adesea forma literelor romane majuscule, cum ar fi F și G. În general, o antiderivată se scrie sub forma ∫f(x) dx.

Î: Ce implică antidiferențierea?


R: Antidiferențierea implică prelucrarea unei funcții pentru a obține o altă funcție (sau o clasă de funcții) numită antiderivată.

Î: Prin ce se deosebește de integrare?


R: Antidiferențierea diferă de integrare prin faptul că nu implică limite - acesta este motivul pentru care se numește integrare nedeterminată.

Î: Care sunt câteva exemple de moduri în care poate fi exprimată antidiferențierea?


R: Printre exemplele de exprimare a antidiferențierii se numără F și G atunci când sunt reprezentate cu o singură literă sau ∫f(x) dx atunci când sunt scrise în formă generală.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3