Primitivă | procesul de găsire a unei anumite funcții în calcul

Antidiferențiere simplă

O funcție de forma a x n {\displaystyle ax^{n}} poate fi integrată (antidiferențiată) după cum urmează:

• Adăugați 1 la puterea n {\displaystyle n} , astfel încât a x n {\displaystyle ax^{n}} este acum a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. .
• Împărțiți toate acestea la noua putere, astfel încât acum este a x n + 1 n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
• Adăugați constanta c {\displaystyle c} , astfel încât acum este a x n + 1 n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} .

Acest lucru poate fi prezentat astfel:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} (cunoscută și sub numele de regula puterii integralei)

Atunci când există mai mulți termeni, putem integra întreaga funcție prin integrarea componentelor sale unul câte unul:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}}-x^{5}+c}

(Acest lucru funcționează numai dacă piesele sunt adăugate sau eliminate.)

Exemple

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {x^{4}}}{4}}+{\frac {x^{5}}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Schimbarea fracțiilor și a rădăcinilor în puteri ușurează lucrurile:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 2 5 2 + c = 2 5 x 5 5 2 + c = 2 5 x 5 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Integrarea unei paranteze ("regula lanțului")

Pentru a integra o paranteză precum ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} este necesară o metodă diferită. Aceasta se numește regula lanțului. Este ca o integrare simplă, dar funcționează numai dacă x {\displaystyle x} din paranteză este liniară (are o putere de 1), cum ar fi x {\displaystyle x} sau 5 x {\displaystyle 5x} - dar nu x 5 {\displaystyle x^{5}} sau x - 7 {\displaystyle x^{-7}}. .

De exemplu, ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} poate fi determinată în următorii pași:

• Adăugați 1 la puterea 3 {\displaystyle 3} , astfel încât să fie acum ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}.
• Împărțiți toate acestea la noua putere pentru a obține ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}.
• Împărțiți toate acestea cu derivata parantezei ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} pentru a obține ( 2 x + 4 ) 4 4 4 ⋅ 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}}{\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
• Adăugați constanta c {\displaystyle c} pentru a obține 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}+c}

Exemple

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ ori 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\pentru că {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} }

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\ ori 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\pentru că {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Pagini conexe

• Teorema fundamentală a calculului
• Integral
• Integrare numerică
• Descompunerea fracției parțiale