O funcție de forma a x n {\displaystyle ax^{n}}
poate fi integrată (antidiferențiată) după cum urmează:
- Adăugați 1 la puterea n {\displaystyle n}
, astfel încât a x n {\displaystyle ax^{n}} este acum a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. 
. - Împărțiți toate acestea la noua putere, astfel încât acum este a x n + 1 n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
. - Adăugați constanta c {\displaystyle c}
, astfel încât acum este a x n + 1 n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c}
.
Acest lucru poate fi prezentat astfel:
∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}
(cunoscută și sub numele de regula puterii integralei)
Atunci când există mai mulți termeni, putem integra întreaga funcție prin integrarea componentelor sale unul câte unul:
∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}}-x^{5}+c} 
(Acest lucru funcționează numai dacă piesele sunt adăugate sau eliminate.)
Exemple
∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} 
∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {x^{4}}}{4}}+{\frac {x^{5}}}{5}}+c} 
∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} 
Schimbarea fracțiilor și a rădăcinilor în puteri ușurează lucrurile:
∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} 
∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 2 5 2 + c = 2 5 x 5 5 2 + c = 2 5 x 5 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}+c} 
și 
.
, unde:
