Calcul infinitezimal

Istoric

În anii 1670 și 1680, Sir Isaac Newton din Anglia și Gottfried Leibniz din Germania au descoperit calculul în același timp, lucrând separat unul de celălalt. Newton dorea să aibă o nouă modalitate de a prezice unde se pot vedea planetele pe cer, deoarece astronomia fusese întotdeauna o formă populară și utilă de știință, iar cunoașterea mai multor informații despre mișcările obiectelor de pe cerul nopții era importantă pentru navigația navelor. Leibniz dorea să măsoare spațiul (aria) sub o curbă (o linie care nu este dreaptă). Mulți ani mai târziu, cei doi bărbați s-au certat cu privire la cine a descoperit-o primul. Oamenii de știință din Anglia l-au susținut pe Newton, dar oamenii de știință din restul Europei l-au susținut pe Leibniz. Majoritatea matematicienilor de astăzi sunt de acord că ambii bărbați își împart meritele în mod egal. Unele părți ale calculului modern provin de la Newton, cum ar fi utilizările sale în fizică. Alte părți provin de la Leibniz, cum ar fi simbolurile folosite pentru a-l scrie.

Ei nu au fost primii oameni care au folosit matematica pentru a descrie lumea fizică - Aristotel și Pitagora au venit mai devreme, la fel ca și Galileo Galilei, care a spus că matematica este limbajul științei. Dar atât Newton, cât și Leibniz au fost primii care au conceput un sistem care descrie modul în care lucrurile se schimbă în timp și care poate prezice cum se vor schimba în viitor.

Numele "calculus" provine din cuvântul latin pentru o piatră mică pe care romanii antici o foloseau pentru a număra și a juca. Cuvântul englezesc "calculate" provine din același cuvânt latin.

Calcul diferențial

Calculul diferențial este utilizat pentru a afla rata de variație a unei variabile în comparație cu o altă variabilă.

În lumea reală, acesta poate fi folosit pentru a afla viteza unui obiect în mișcare sau pentru a înțelege cum funcționează electricitatea și magnetismul. Este foarte important pentru înțelegerea fizicii și a multor alte domenii ale științei.

Calculul diferențial este, de asemenea, util pentru realizarea de grafice. Acesta poate fi utilizat pentru a găsi panta unei curbe și punctele cel mai înalt și cel mai jos (acestea se numesc maxim și minim) ale unei curbe.

Variabilele își pot schimba valoarea. Acest lucru este diferit de numere, deoarece numerele sunt întotdeauna aceleași. De exemplu, numărul 1 este întotdeauna egal cu 1, iar numărul 200 este întotdeauna egal cu 200. Adesea, variabilele se scriu sub formă de litere, cum ar fi litera x. "X" poate fi egal cu 1 la un moment dat și cu 200 la un alt moment dat.

Câteva exemple de variabile sunt distanța și timpul, deoarece acestea se pot schimba. Viteza unui obiect reprezintă distanța pe care o parcurge într-un anumit interval de timp. Astfel, dacă un oraș se află la o distanță de 80 de kilometri (50 de mile), iar o persoană aflată într-o mașină ajunge acolo într-o oră, aceasta a călătorit cu o viteză medie de 80 de kilometri (50 de mile) pe oră. Dar aceasta este doar o medie - poate că a călătorit mai repede în anumite momente (pe o autostradă) și mai încet în alte momente (la un semafor sau pe o stradă mică unde locuiesc oameni). Imaginați-vă un șofer care încearcă să își dea seama de viteza unei mașini folosind doar odometrul (contorul de distanță) și ceasul, fără un vitezometru!

Până la inventarea calculului, singura modalitate de a afla acest lucru era să tăiem timpul în bucăți din ce în ce mai mici, astfel încât viteza medie în timpul mai mic să se apropie din ce în ce mai mult de viteza reală la un moment dat. Acesta era un proces foarte lung și dificil și trebuia făcut de fiecare dată când oamenii doreau să rezolve ceva.

O problemă foarte asemănătoare este aceea de a găsi panta (cât de abruptă este) în orice punct al unei curbe. Panta unei linii drepte este ușor de calculat - este pur și simplu cât de mult urcă (y sau verticală) împărțită la cât de mult traversează (x sau orizontală). Pe o curbă, însă, panta este variabilă (are valori diferite în diferite puncte), deoarece linia se îndoaie. Dar dacă curba ar fi tăiată în bucăți foarte, foarte mici, curba în acel punct ar arăta aproape ca o linie dreaptă foarte scurtă. Astfel, pentru a calcula panta acesteia, se poate trasa o linie dreaptă care să treacă prin punct cu aceeași pantă ca și curba din acel punct. Dacă se face exact cum trebuie, linia dreaptă va avea aceeași pantă ca și curba și se numește tangentă. Dar nu există nicio modalitate de a ști (fără o matematică foarte complicată) dacă tangenta este exact corectă, iar ochii noștri nu sunt suficient de preciși pentru a fi siguri dacă este exactă sau pur și simplu foarte apropiată.

Newton și Leibniz au găsit o modalitate de a calcula exact panta (sau viteza în exemplul distanței), folosind reguli simple și logice. Ei au împărțit curba într-un număr infinit de bucăți foarte mici. Apoi au ales puncte de o parte și de alta a intervalului care îi interesa și au calculat tangentele la fiecare dintre ele. Pe măsură ce punctele se apropiau unele de altele spre punctul care îi interesa, panta se apropia de o anumită valoare, pe măsură ce tangentele se apropiau de panta reală a curbei. Valoarea particulară de care s-a apropiat a fost panta reală.

Să spunem că avem o funcție y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f este prescurtarea de la funcție, deci această ecuație înseamnă "y este o funcție de x". Acest lucru ne spune că înălțimea pe care o are y pe axa verticală depinde de valoarea lui x (axa orizontală) în acel moment. De exemplu, cu ecuația y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} , știm că dacă x {\displaystyle x} este 1, atunci y {\displaystyle y} va fi 1; dacă x {\displaystyle x} este 3, atunci y {\displaystyle y} va fi 9; dacă x {\displaystyle x} este 20, atunci y {\displaystyle y} va fi 400. Derivata produsă folosind această metodă este x 2{\displaystyle 2x}. sau 2 înmulțit cu x {\displaystyle x} . Așadar, știm, fără a fi nevoie să trasăm linii tangente, că în orice punct al curbei f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}}. , derivata, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (marcată cu simbolul prim), va fi x 2{\displaystyle 2x} în orice punct. Acest proces de calcul al pantei cu ajutorul limitelor se numește diferențiere sau găsirea derivatei.

Modul de a scrie derivata în matematică este f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz a ajuns la același rezultat, dar a numit h " d x {\displaystyle dx} ", ceea ce înseamnă "în raport cu x". El a numit schimbarea rezultată în f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", ceea ce înseamnă "o cantitate mică de y". Notația lui Leibniz este folosită de mai multe cărți, deoarece este ușor de înțeles atunci când ecuațiile devin mai complicate. În notația lui Leibniz: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matematicienii au dezvoltat această teorie de bază pentru a crea reguli simple de algebră care pot fi folosite pentru a găsi derivata aproape oricărei funcții.

Pe o curbă, două puncte diferite au pante diferite. Liniile roșie și albastră sunt tangente la curbă.


O imagine care să arate ce înseamnă x și x + h pe curbă.

Calcul integral

Calculul integral este procesul de calcul al suprafeței de sub graficul unei funcții. Un exemplu este calcularea distanței parcurse de o mașină: dacă se cunoaște viteza mașinii în diferite momente de timp și se desenează un grafic al acestei viteze, atunci distanța parcursă de mașină va fi aria de sub grafic.

Modul de a face acest lucru este de a împărți graficul în mai multe bucăți foarte mici, apoi de a desena dreptunghiuri foarte subțiri sub fiecare bucată. Pe măsură ce dreptunghiurile devin din ce în ce mai subțiri, dreptunghiurile acoperă din ce în ce mai bine zona de sub grafic. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat, așa că putem calcula aria totală a tuturor dreptunghiurilor. Pentru dreptunghiurile mai subțiri, această valoare a ariei totale se apropie de aria de sub grafic. Valoarea finală a ariei se numește integrala funcției.

În matematică, integrala funcției f(x) de la a la b, se scrie ca ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Integrarea constă în găsirea ariilor, date fiind a, b și y = f(x).


Putem aproxima aria de sub o curbă prin însumarea ariilor mai multor dreptunghiuri aflate sub curbă. Cu cât folosim mai multe dreptunghiuri, cu atât mai bună este aproximarea noastră.

Ideea principală a calculului

Ideea principală a calculului se numește teorema fundamentală a calculului. Această idee principală spune că cele două procese de calcul, calculul diferențial și calculul integral, sunt opuse. Altfel spus, o persoană poate folosi calculul diferențial pentru a anula un proces de calcul integral. De asemenea, o persoană poate folosi calculul integral pentru a anula o metodă de calcul diferențial. Acest lucru este la fel ca și cum ai folosi împărțirea pentru a "anula" înmulțirea sau adunarea pentru a "anula" scăderea.

Într-o singură propoziție, teorema fundamentală sună cam așa: "Derivata integrală a unei funcții f este funcția însăși".

Alte utilizări ale calculului

Calculul este utilizat pentru a descrie lucruri care se schimbă, cum ar fi lucrurile din natură. Acesta poate fi utilizat pentru a arăta și a învăța toate acestea:

• Cum se mișcă valurile. Valurile sunt foarte importante în lumea naturală. De exemplu, sunetul și lumina pot fi considerate unde.
• Acolo unde căldura se deplasează, ca într-o casă. Acest lucru este util pentru arhitectură (construirea de case), astfel încât încălzirea casei să fie cât mai ieftină.
• Cum acționează lucruri foarte mici, cum ar fi atomii.
• Viteza cu care ceva cade, cunoscută și sub numele de gravitație.
• Modul de funcționare a mașinilor, cunoscut și sub numele de mecanică.
• Traiectoria Lunii în timp ce se deplasează în jurul Pământului. De asemenea, traiectoria Pământului în timp ce se deplasează în jurul Soarelui și a oricărei planete sau luni care se deplasează în jurul oricărui obiect din spațiu.