În algebră, există câteva reguli care pot fi folosite pentru o mai bună înțelegere a ecuațiilor. Acestea se numesc reguli de algebră. Deși aceste reguli pot părea fără sens sau evidente, este înțelept să înțelegem că aceste proprietăți nu sunt valabile în toate ramurile matematicii. Prin urmare, va fi util să cunoaștem cum sunt declarate aceste reguli axiomatice, înainte de a le lua ca fiind de la sine înțelese. Înainte de a trece la reguli, reflectați asupra a două definiții care vor fi date.
- Opusul: opusul unui {\displaystyle a}
este - un {\displaystyle -a}
. - Reciprocă: reciproca unui {\displaystyle a} este 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}}
.
Proprietatea comutativă a adunării
"Comutativă" înseamnă că o funcție are același rezultat dacă numerele sunt schimbate. Cu alte cuvinte, ordinea termenilor dintr-o ecuație nu contează. Atunci când se adaugă doi termeni (adunări), se aplică "proprietatea comutativă a adunării". În termeni algebrici, rezultă a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
.
Rețineți că acest lucru nu se aplică în cazul scăderii (adică a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a}
cu excepția cazului în care a = b {\displaystyle a=b}
).
Proprietatea comutativă a înmulțirii
Atunci când se înmulțesc doi termeni (factori), se aplică "proprietatea comutativă a înmulțirii". În termeni algebrici, rezultă a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
.
Rețineți că acest lucru nu se aplică în cazul diviziunii (de exemplu, a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}}. 
, când a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
și b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}
, cu excepția cazului în care a = b {\displaystyle a=b} ).
Proprietatea asociativă a adunării
"Asociativ" se referă la gruparea numerelor. Proprietatea asociativă a adunării implică faptul că, atunci când se adună trei sau mai mulți termeni, nu contează cum sunt grupați acești termeni. Din punct de vedere algebric, rezultă a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
. Rețineți că acest lucru nu este valabil pentru scădere, de exemplu, 1 - ( 2 - 3 ) ≠ ( 1 - 2 ) - 3 {\displaystyle 1-(2-3)\neq (1-2)-3}
(a se vedea proprietatea distributivă).
Proprietatea asociativă a înmulțirii
Proprietatea asociativă a înmulțirii implică faptul că, atunci când se înmulțesc trei sau mai mulți termeni, nu contează cum sunt grupați acești termeni. Din punct de vedere algebric, rezultă a ( b c ) = ( a b ) c {\displaystyle a(bc)=(ab)c}
. Rețineți că acest lucru nu este valabil pentru diviziune, de exemplu 1 / ( 2 / 4 ) ≠ ( 1 / 2 ) / 4 {\displaystyle 1/(2/4)\neq (1/2)/4}
.
Proprietatea distributivă
Proprietatea distributivă afirmă că înmulțirea unui termen cu un alt termen poate fi distribuită. De exemplu: a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a(b+c)=ab+ac}
. (Nu confundați acest lucru cu proprietățile asociative! De exemplu: a ( b + c ) ≠ ( a b ) + c {\displaystyle a(b+c)\neq (ab)+c}
.) .)
Identitate aditivă
"Identitatea" se referă la proprietatea unui număr de a fi egal cu el însuși. Cu alte cuvinte, există o operație de adunare a două numere astfel încât acesta să fie egal cu variabila sumei. Proprietatea de identitate aditivă afirmă că orice număr plus 0 este acel număr: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a}
. Acest lucru este valabil și pentru scădere: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a}
.
Identitate multiplicativă
Proprietatea identității multiplicative afirmă că orice număr înmulțit cu 1 este acel număr: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a}
. Acest lucru este valabil și pentru împărțire: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}}=a}
.
Proprietatea aditivă inversă
Proprietatea inversă aditivă este oarecum opusul identității aditive. Atunci când adunăm un număr și opusul său, rezultatul este 0. Algebric, aceasta afirmă următoarele: a + - a = 0 {\displaystyle a+-a=0}. 
, ceea ce este același lucru cu a - a = 0 {\displaystyle a-a=0}
. De exemplu, inversul aditiv (sau opusul) lui 1 este -1.
Proprietatea inversă multiplicativă
Proprietatea inversă multiplicativă înseamnă că, atunci când înmulțim un număr și inversul său, rezultatul este 1. Algebric, aceasta afirmă următoarele: a ⋅ 1 a = 1 {\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1}} 
, ceea ce este același lucru cu a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}
. De exemplu, inversa multiplicativă (sau doar inversa) a lui 2 este 1/2. Pentru a obține inversa unei fracții, schimbați numărătorul și numitorul: inversa lui 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}}
este 3 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3}{2}}}
.
. În acest exemplu, 
, sau se poate spune, de asemenea, că " 
este egal cu cinci". Acest lucru se numește rezolvare pentru 
sau 
) și ecuațiile pătratice, care au variabilele care sunt ridicate la pătrat (înmulțite cu el însuși, de exemplu: 
, 
, sau 
).
