Ecuație polinomială
În matematică, o ecuație algebrică, numită și ecuație polinomială pe un câmp dat, este o ecuație de forma
P = Q {\displaystyle P=Q} 
unde P și Q sunt polinoame pe câmpul respectiv și au una (univariată) sau mai multe variabile (multivariată). De exemplu:
y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
este o ecuație algebrică pe numere raționale.
Două ecuații se numesc echivalente dacă au același set de soluții. Aceasta înseamnă că toate soluțiile celei de-a doua ecuații trebuie să fie și soluții ale primei ecuații și invers. Ecuația P = Q {\displaystyle P=Q} este echivalentă cu P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Așadar, studiul ecuațiilor algebrice este echivalent cu studiul polinoamelor.
Dacă o ecuație algebrică se referă la raționale, aceasta poate fi întotdeauna convertită într-o ecuație echivalentă, în care toți coeficienții sunt numere întregi. De exemplu, în ecuația dată mai sus, se înmulțește cu 42 = 2-3-7 și se grupează termenii în primul membru. Ecuația este convertită în
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Soluțiile unei ecuații sunt valorile variabilelor pentru care ecuația este adevărată. Dar pentru ecuațiile algebrice există și rădăcini. Atunci când rezolvăm o ecuație, trebuie să spunem în ce set sunt permise soluțiile. De exemplu, pentru o ecuație pe raționale, se pot găsi soluții în numere întregi. Atunci, ecuația este o ecuație diofantină. De asemenea, se pot căuta soluții în domeniul numerelor complexe. De asemenea, se pot căuta soluții în domeniul numerelor reale.
Matematicienii antici doreau soluțiile ecuațiilor univariate (adică ecuațiile cu o singură variabilă) sub forma unor expresii radicale, cum ar fi x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}
pentru soluția pozitivă a lui x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Vechii egipteni știau cum să rezolve ecuațiile de gradul 2 (adică ecuațiile în care cea mai mare putere a variabilei este 2) în acest mod. În timpul Renașterii, Gerolamo Cardano a rezolvat ecuația de gradul 3, iar Lodovico Ferrari a rezolvat ecuația de gradul 4. În cele din urmă, Niels Henrik Abel a demonstrat în 1824 că ecuația de gradul 5 și ecuațiile de grad superior nu pot fi întotdeauna rezolvate prin utilizarea radicalilor. Teoria lui Galois, denumită după Évariste Galois, a fost introdusă pentru a oferi criterii care să decidă dacă o ecuație poate fi rezolvată cu ajutorul radicalilor.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este o ecuație algebrică?
R: O ecuație algebrică este o ecuație de forma P = Q, unde P și Q sunt polinoame pe un anumit câmp cu una sau mai multe variabile.
Î: Cum pot fi două ecuații echivalente?
R: Două ecuații sunt considerate echivalente dacă au același set de soluții, ceea ce înseamnă că toate soluțiile uneia trebuie să fie, de asemenea, soluții ale celeilalte și viceversa.
Î: Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?
R: Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea valorilor variabilelor care fac ca ecuația să fie adevărată. Aceste valori se numesc rădăcini.
Î: Pot fi convertite întotdeauna ecuațiile algebrice cu numere raționale în ecuații cu coeficienți întregi?
R: Da, prin înmulțirea ambelor părți cu un număr, cum ar fi 42 = 2-3-7 și gruparea termenilor în primul membru, orice ecuație algebrică cu numere raționale poate fi convertită în una cu coeficienți întregi.
Î: Când au dorit matematicienii antici expresii radicale pentru ecuațiile univariate?
R: Matematicienii antici au dorit expresii radicale (cum ar fi x=1+√5/2) pentru ecuațiile univariate (ecuații cu o singură variabilă) în perioada Renașterii.
Î: Cine a rezolvat ecuații de gradul 3 și 4 în această perioadă?
R: Gerolamo Cardano a rezolvat ecuații de gradul 3 și Lodovico Ferrari a rezolvat ecuații de gradul 4 în această perioadă.
Î: Cine a demonstrat că ecuațiile de grad superior nu pot fi întotdeauna rezolvate cu ajutorul radicalilor?
R: Niels Henrik Abel a demonstrat în 1824 că ecuațiile de grad superior nu pot fi întotdeauna rezolvate cu ajutorul radicalilor.
