Unitatea imaginară | o valoare numerică ce există doar în afara numerelor reale

În matematică, unitatea imaginară sau i {\displaystyle i} $i$ , este o valoare numerică ce există doar în afara numerelor reale și este utilizată în algebră. Atunci când înmulțim unitatea imaginară cu un număr real, numim rezultatul un număr imaginar. Deși numerele imaginare pot fi folosite pentru a rezolva o mulțime de probleme matematice, ele nu pot fi reprezentate de o cantitate de obiecte din viața reală.

Istoric

Unitățile imaginare au fost inventate pentru a răspunde la ecuația polinomială x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ care, în mod normal, nu are soluție (a se vedea mai jos). Termenul "imaginar" provine de la René Descartes și a fost conceput ca fiind insultător, deoarece, la fel ca și numerele zero și negative în alte momente ale istoriei, numerele imaginare erau considerate inutile, deoarece nu sunt naturale. Abia în secolele următoare, lucrările unor matematicieni precum Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy și Carl Friedrich Gauss vor dovedi că numerele imaginare sunt foarte importante pentru anumite domenii ale algebrei.

Definiție

O regulă comună pentru înmulțirea și împărțirea numerelor este că, dacă semnele sunt diferite, atunci rezultatul este negativ (de exemplu, 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), dar dacă ambele numere au același semn, atunci rezultatul va fi pozitiv (de exemplu, 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ și - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Cu toate acestea, acest lucru duce la probleme cu rădăcinile pătrate ale numerelor negative, deoarece două numere negative vor face întotdeauna un număr pozitiv:

2 × 2 = 2 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4} $2\times 2=2^{2}=4$

deci 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

dar - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

as - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

Pentru a umple acest decalaj de valori, a fost creată unitatea imaginară, care este definită ca i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ și i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Folosind numere imaginare putem rezolva ultimul exemplu:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\times 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ și - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Rădăcina pătrată a lui i

Deși unitatea imaginară provine din rezolvarea unei ecuații pătratice (o ecuație în care necunoscuta apare la pătrat), ne-am putea întreba dacă trebuie să creăm noi valori numerice precum unitatea imaginară pentru a rezolva ecuații în care apar puteri mai mari ale lui x {\displaystyle x} precum x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ și x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . De exemplu, ecuația x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ are o a patra putere a variabilei necunoscute x {\displaystyle x} . Avem nevoie de unități noi, cum ar fi i {\displaystyle i} $i$ , pentru a rezolva această ecuație?

Am putea, de asemenea, să ne punem o întrebare similară: trebuie să creăm un nou număr pentru a găsi rădăcina pătrată a lui -1, iar acest nou număr l-am numit i {\displaystyle i} $i$ . Trebuie să creăm un nou număr pentru a găsi rădăcina (sau rădăcinile pătrate) lui i {\displaystyle i} $i$ ?

Se pare că răspunsul la aceste două întrebări este nu. Pentru a doua întrebare, rădăcinile pătrate ale lui i {\displaystyle i} $i$ pot fi scrise în termeni de o parte reală și o parte imaginară. Mai exact, rădăcinile pătrate ale lui i {\displaystyle i} $i$ pot fi scrise astfel: ± i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Putem verifica dacă acestea sunt într-adevăr rădăcinile pătrate ale lui i {\displaystyle i} $i$ ridicându-le la pătrat și văzând dacă obținem i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}(1+i)\right)^{2}\}\} } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Putem observa, de asemenea, că ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , deci ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} $\pm {\sqrt {i}}$ rezolvă ecuația x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , răspunzând parțial la prima noastră întrebare - pentru ecuația x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , soluțiile sunt tot numere complexe (rezultatul adunării unui număr real și a unui număr imaginar). Există încă două soluții pentru această ecuație particulară, x = ± 2 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , și acestea sunt de asemenea numere complexe. Pentru a rezolva ecuația nu sunt necesare numere noi, cum ar fi unitatea imaginară.

În general, orice ecuație în care necunoscuta apare cu puteri ale numerelor întregi poate fi rezolvată cu ajutorul numerelor complexe, astfel încât, odată ce știm despre unitatea imaginară, putem rezolva orice ecuație de această formă. Acest rezultat este atât de important încât este numit teorema fundamentală a algebrei.

Puterile lui i

Puterile lui i {\displaystyle i} $i$ sau i {\displaystyle i} $i$ urmează un model regulat și previzibil:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

După cum se arată, de fiecare dată când înmulțim cu încă un i {\displaystyle i} $i$ valorile sunt 1 , i , - 1 , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ și apoi se repetă.

Pagini conexe

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este unitatea imaginară?

R: Unitatea imaginară este o valoare numerică ce există doar în afara numerelor reale și este utilizată în algebră.

Î: Cum folosim unitatea imaginară?

R: Înmulțim unitatea imaginară cu un număr real pentru a crea un număr imaginar.

Î: La ce sunt folosite numerele imaginare?

R: Numerele imaginare pot fi utilizate pentru a rezolva multe probleme matematice.

Î: Putem reprezenta un număr imaginar cu obiecte din viața reală?

R: Nu, nu putem reprezenta un număr imaginar cu obiecte din viața reală.

Î: De unde provine unitatea imaginară?

R: Unitatea imaginară provine din matematică și algebră.

Î: Unitatea imaginară face parte din numerele reale?

R: Nu, ea există în afara domeniului numerelor reale.

Î: Cum se calculează un număr imaginar? R: Se calculează un număr imaginar prin înmulțirea unui număr real cu unitatea imaginară.