Teorema lui Pitagora | afirmație despre laturile unui triunghi dreptunghic

Teorema lui Pitagora spune că aria unui pătrat de pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor de pe picioare. În această imagine, suprafața pătratului albastru adăugată la suprafața pătratului roșu formează suprafața pătratului violet. A fost numit după matematicianul grec Pitagora:

Dacă lungimile picioarelor sunt a și b, iar lungimea ipotenuzei este c, atunci, a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}. .

Există multe demonstrații diferite ale acestei teoreme. Ele se împart în patru categorii:

1. Cele bazate pe relații liniare: demonstrațiile algebrice.
2. Cele care se bazează pe compararea suprafețelor: probele geometrice.
3. Cele bazate pe operația vectorială.
4. Cele bazate pe masă și viteză: probele dinamice.

O dovadă a teoremei lui Pitagora a fost găsită de un matematician grec, Eudoxus din Cnidus.

Demonstrația se bazează pe trei leme:

1. Triunghiurile cu aceeași bază și înălțime au aceeași arie.
2. Un triunghi care are aceeași bază și înălțime ca o latură a unui pătrat are aceeași suprafață ca o jumătate de pătrat.
3. Triunghiurile cu două laturi congruente și un unghi congruent sunt congruente și au aceeași arie.

Dovada este:

1. Triunghiul albastru are aceeași arie ca și triunghiul verde, deoarece are aceeași bază și aceeași înălțime (lema 1).
2. Triunghiurile verde și roșu au ambele două laturi egale cu laturile acelorași pătrate și un unghi egal cu un unghi drept (un unghi de 90 de grade) plus un unghi al unui triunghi, deci sunt congruente și au aceeași arie (lema 3).
3. Suprafețele triunghiurilor roșu și galben sunt egale, deoarece au aceleași înălțimi și baze (lema 1).
4. Aria triunghiului albastru este egală cu aria triunghiului galben, deoarece

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}}

1. Triunghiurile maro au aceeași suprafață din aceleași motive.
2. Albastrul și maro au fiecare jumătate din suprafața unui pătrat mai mic. Suma suprafețelor lor este egală cu jumătate din suprafața pătratului mai mare. Din acest motiv, jumătățile suprafețelor pătratelor mici sunt egale cu o jumătate din suprafața pătratului mai mare, deci suprafața lor este aceeași cu suprafața pătratului mai mare.

Dovada cu ajutorul triunghiurilor similare

Putem obține o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora folosind triunghiuri asemănătoare.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad {a^{2}}={dc}\quad (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad {b^{2}}={ec}\quad (2)}

Din imagine, adăugați ecuațiile (1) și (2):

Și obținem:

c 2 = a 2 + b 2. {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}
 

Tripletele pitagoreice sau tripletele sunt trei numere întregi care se potrivesc ecuației a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. .

Triunghiul cu laturile de 3, 4 și 5 este un exemplu bine cunoscut. Dacă a=3 și b=4, atunci 3 2 + 4 2 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} pentru că 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Acest lucru poate fi arătat și sub forma 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

Triunghiul trei-patru-cinci funcționează pentru toți multiplii de 3, 4 și 5. Cu alte cuvinte, numere precum 6, 8, 10 sau 30, 40 și 50 sunt, de asemenea, triple pitagoreice. Un alt exemplu de triplu este triunghiul 12-5-13, deoarece 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} .

Un triplu pitagoreic care nu este multiplu al altor triple se numește triplu pitagoreic primitiv. Orice triplu pitagoreic primitiv poate fi găsit folosind expresia ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , dar trebuie să fie îndeplinite următoarele condiții. Acestea impun restricții asupra valorilor lui m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} sunt numere întregi pozitive.
2. m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} nu au factori comuni, cu excepția lui 1
3. m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} au paritate opusă. m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} au paritate opusă atunci când m {\displaystyle m} este par și n {\displaystyle n} este impar, sau m {\displaystyle m} este impar și n {\displaystyle n} este par.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Dacă toate cele patru condiții sunt îndeplinite, atunci valorile lui m {\displaystyle m} și n {\displaystyle n} creează o triplă pitagoreică primitivă.

m = 2 {\displaystyle m=2} și n = 1 {\displaystyle n=1} creează o triplă pitagoreică primitivă. Valorile îndeplinesc toate cele patru condiții. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} și m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , astfel încât se creează tripla ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} .