Împărțirea cu zero

Este posibil să mascăm un caz special de împărțire la zero într-un argument algebric. Acest lucru poate duce la demonstrații invalide, cum ar fi 1=2, ca în cazul următor:

Cu următoarele ipoteze:

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}}}

Următoarele trebuie să fie adevărate:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}

Împărțind la zero se obține:

0 0 0 × 1 = 0 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.}

Simplificați:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,}

Eroarea constă în presupunerea că împărțirea la 0 este o operație legitimă cu 0/0 = 1.

Cei mai mulți oameni ar recunoaște probabil că "dovada" de mai sus este incorectă, dar același argument poate fi prezentat într-un mod care face mai dificilă identificarea erorii. De exemplu, dacă 1 este scris ca x, atunci 0 poate fi ascuns în spatele lui x-x și 2 în spatele lui x+x. Demonstrația menționată mai sus poate fi apoi afișată după cum urmează:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}}

prin urmare:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,}

Împărțind cu x - x se obține:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,}

și împărțind la x se obține:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,}

"Demonstrația" de mai sus este incorectă, deoarece se împarte la zero atunci când se împarte la x-x, deoarece orice număr minus el însuși este zero.

În calcul, "formele nedeterminate" de mai sus apar, de asemenea, ca rezultat al substituției directe în timpul evaluării limitelor.

Dacă un program de calculator încearcă să împartă un număr întreg cu zero, sistemul de operare va detecta de obicei acest lucru și va opri programul. De obicei, acesta va imprima un "mesaj de eroare" sau îi va da programatorului sfaturi despre cum să îmbunătățească programul^[]. Diviziunea cu zero este o eroare frecventă în programarea calculatoarelor. Împărțirea numerelor cu virgulă mobilă (zecimale) la zero va avea ca rezultat, de obicei, fie infinitul, fie o valoare specială NaN (not a number), în funcție de ceea ce este împărțit la zero.

În geometrie 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } Acest infinit (infinit proiectiv) nu este nici un număr pozitiv, nici un număr negativ, la fel cum zero nu este nici un număr pozitiv, nici un număr negativ