Funcția gamma
În matematică, funcția gamma (Γ(z)) este o extensie a funcției factoriale la toate numerele complexe, cu excepția numerelor întregi negative. Pentru numerele întregi pozitive, aceasta este definită ca Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Funcția gamma este definită pentru toate numerele complexe. Dar nu este definită pentru numere întregi negative și zero. Pentru un număr complex a cărui parte reală nu este un număr întreg negativ, funcția este definită prin:
Funcția gamma de-a lungul unei părți a axei reale
Proprietăți
Valori particulare
Unele valori particulare ale funcției gamma sunt:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.36327180101207\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\aprox -3.544907701811\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\apropx 0.8862269692545\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox. 1.32934038818\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox. 3.32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\end{array}}} 
Funcția Pi
Gauss a introdus funcția Pi. Acesta este un alt mod de a desemna funcția gamma. În termeni de funcție gamma, funcția Pi este
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t}},} 
astfel încât
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
pentru orice număr întreg n nenultiv.
Aplicații
Teoria analitică a numerelor
Funcția gamma este utilizată pentru a studia funcția Riemann zeta. O proprietate a funcției Riemann zeta este ecuația funcțională a acesteia:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann a găsit o relație între aceste două funcții. Acest lucru s-a întâmplat în lucrarea din 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Despre numărul numerelor prime mai mici decât o cantitate dată")
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}. } 
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este funcția gamma în matematică?
R: Funcția gamma este un subiect cheie în domeniul funcțiilor speciale din matematică.
Î: Care este extinderea funcției factoriale la toate numerele complexe, cu excepția numerelor întregi negative?
R: Funcția gamma este o extensie a funcției factoriale la toate numerele complexe, cu excepția numerelor întregi negative.
Î: Cum se definește funcția gamma pentru numere întregi pozitive?
R: Pentru numerele întregi pozitive, funcția gamma este definită ca Γ(n) = (n-1)!.
Î: Este funcția gamma definită pentru toate numerele complexe?
R: Da, funcția gamma este definită pentru toate numerele complexe.
Î: Este funcția gamma definită pentru numere întregi negative și zero?
R: Nu, funcția gamma nu este definită pentru numere întregi negative și zero.
Î: Cum este definită funcția gamma pentru un număr complex a cărui parte reală nu este un întreg negativ?
R: Funcția gamma se definește pentru un număr complex a cărui parte reală nu este un întreg negativ printr-o formulă specifică care nu este prezentată în text.
Î: De ce este importantă funcția gamma în matematică?
R: Funcția gamma este importantă în matematică deoarece este un subiect cheie în domeniul funcțiilor speciale și extinde funcția factorială la toate numerele complexe, cu excepția numerelor întregi negative.
