Compoziția funcției | o modalitate de a crea o nouă funcție din alte două funcții

În matematică, compunerea funcțiilor este o modalitate de a crea o nouă funcție din alte două funcții printr-un proces de tip lanț.

Mai precis, dată fiind o funcție f din X în Y și o funcție g din Y în Z, atunci funcția "g compusă cu f", scrisă ca g ∘ f, este o funcție din X în Z (observați că este scrisă de obicei în mod opus față de cum s-ar aștepta lumea să fie).

Valoarea lui f în funcție de intrarea x se scrie f(x). Valoarea lui g ∘ f în funcție de intrarea x se scrie (g ∘ f)(x) și se definește ca g(f(x)).

De exemplu, fie f o funcție care dublează un număr (îl înmulțește cu 2) și fie g o funcție care scade 1 dintr-un număr. Aceste două funcții se pot scrie sub forma::

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Aici, g compus cu f ar fi funcția care dublează un număr și apoi scade 1 din el. Adică:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

Pe de altă parte, f compusă cu g ar fi funcția care scade 1 dintr-un număr și apoi îl dublează:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Compunerea funcțiilor poate fi generalizată și la relațiile binare, unde este uneori reprezentată folosind același simbol ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ (ca în R ∘ S {\displaystyle R\circ S} $R\circ S$ ).

Proprietăți

Se poate dovedi că compoziția funcțiilor este asociativă, ceea ce înseamnă că:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Cu toate acestea, compunerea funcțiilor nu este în general comutativă, ceea ce înseamnă că:

f ∘ g ≠ g ∘ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Acest lucru se poate observa și în primul exemplu, unde (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 și (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Pagini conexe

Regula lanțului

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este compoziția funcțională?

R: Compoziția funcțiilor este o modalitate de a crea o nouă funcție din alte două funcții printr-un proces de tip lanț.

Î: Cum se scrie valoarea lui g compusă cu f?

R: Valoarea lui g compusă cu f se scrie ca (g ∘ f)(x) și se definește ca g(f(x)).

Î: Care sunt câteva exemple de funcții?

R: Un exemplu ar putea fi o funcție care dublează un număr (îl înmulțește cu 2) și o alta care scade 1 dintr-un număr.

Î: Care ar fi un exemplu de g compusă cu f?

R: Un exemplu de g compusă cu f ar fi funcția care dublează un număr și apoi scade 1 din el. Adică (g ∘ f)(x)=2x-1.

Î: Care ar fi un exemplu de f compusă cu g?

R: Un exemplu de f compusă cu g ar fi funcția care scade 1 dintr-un număr și apoi îl dublează; adică (f ∘ g)(x)=2(x-1).

Î: Poate fi generalizată compunerea și la relațiile binare?

R: Da, compoziția poate fi generalizată și la relațiile binare, unde este uneori reprezentată folosind același simbol (ca în R ∘ S).