Legea combinată a gazelor | formula despre gazele ideale

Derivare din legile gazelor

Legea lui Boyle afirmă că produsul presiune-volum este constant:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Legea lui Charles arată că volumul este proporțional cu temperatura absolută:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Legea lui Gay-Lussac spune că presiunea este proporțională cu temperatura absolută:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

unde P este presiunea, V volumul și T temperatura absolută a unui gaz ideal.

Combinând (1) și oricare dintre (2) sau (3), putem obține o nouă ecuație cu P, V și T. Dacă împărțim ecuația (1) la temperatură și înmulțim ecuația (2) la presiune, vom obține:

P V T = k 1 ( T ) T T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Cum partea stângă a ambelor ecuații este aceeași, se obține

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

ceea ce înseamnă că

P V T = constantă {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}} .

Înlocuind legea lui Avogadro, se obține ecuația gazului ideal.

 

Derivare fizică

O derivare a legii combinate a gazelor care utilizează doar algebră elementară poate conține surprize. De exemplu, pornind de la cele trei legi empirice

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\,\!}           (1) Legea lui Gay-Lussac, volumul presupus constant

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2) Legea lui Charles, presiunea presupusă constantă

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}           (3) Legea lui Boyle, temperatura presupusă constantă

unde k_V , k_P , și k_T sunt constantele, se pot înmulți cele trei împreună pentru a obține

P V P V V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPVV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Luând rădăcina pătrată a ambelor părți și împărțind la T pare să producă rezultatul dorit.

P V T = k P k V k k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!}

Cu toate acestea, dacă înainte de a aplica procedura de mai sus, se rearanjează pur și simplu termenii din legea lui Boyle, k_T = PV, atunci, după anulare și rearanjare, se obține

k T k k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\\,\!}

ceea ce nu este foarte util, dacă nu chiar înșelător.

O derivare fizică, mai lungă, dar mai fiabilă, începe prin a realiza că parametrul de volum constant din legea lui Gay-Lussac se va modifica pe măsură ce se schimbă volumul sistemului. La un volum constant, V₁ , legea ar putea apărea P = k₁ T, în timp ce la un volum constant V₂ ar putea apărea P = k₂ T. Notând acest "volum constant variabil" prin k_V (V), rescrieți legea sub forma

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}           (4)

Același considerent se aplică și în cazul constantei din legea lui Charles, care poate fi rescrisă astfel

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}           (5)

În încercarea de a găsi k_V (V), nu trebuie să eliminăm T fără să ne gândim între (4) și (5), deoarece P variază în primul caz, în timp ce în cel de-al doilea se presupune că este constant. Mai degrabă, ar trebui mai întâi să se determine în ce sens aceste ecuații sunt compatibile una cu cealaltă. Pentru a înțelege acest lucru, reamintim că oricare două variabile o determină pe cea de-a treia. Alegând ca P și V să fie independente, ne imaginăm că valorile T formează o suprafață deasupra planului PV. Un V₀ și un P₀ definite definesc un T₀ , un punct pe această suprafață. Înlocuind aceste valori în (4) și (5) și rearanjându-le, se obține

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) și T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}}{k_{V}(V_{0})}}\quad și\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}

Deoarece ambele descriu ceea ce se întâmplă în același punct de pe suprafață, cele două expresii numerice pot fi echivalate și rearanjate

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}}\,\!}           (6)

Rețineți că

1/k_V (V₀ ) și 1/k_P (P₀ ) sunt pantele dreptelor ortogonale paralele cu axa P/axa V și care trec prin acel punct de pe suprafața de deasupra planului PV. Raportul dintre pantele acestor două linii depinde numai de valoarea P₀ /V₀ în acel punct.

Rețineți că forma funcțională a lui (6) nu depinde de punctul ales. Aceeași formulă ar fi apărut pentru orice altă combinație de valori P și V. Prin urmare, se poate scrie

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\quadru \pentru toți P,\pentru toți V} (7)

Acest lucru spune că fiecare punct de pe suprafață are propria pereche de drepte ortogonale care îl traversează, raportul pantelor acestora depinzând numai de acel punct. În timp ce (6) este o relație între pantele specifice și valorile variabilelor, (7) este o relație între funcțiile de pantă și variabilele funcției. Ea este valabilă pentru orice punct de pe suprafață, adică pentru oricare și toate combinațiile de valori P și V. Pentru a rezolva această ecuație pentru funcția k_V (V), separați mai întâi variabilele, V în stânga și P în dreapta.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Alegeți orice presiune P₁ . Partea dreaptă se evaluează la o valoare arbitrară, numită k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{{\text{arb}}\,\!}           (8)

Această ecuație particulară trebuie să fie adevărată nu doar pentru o valoare a lui V, ci pentru toate valorile lui V. Singura definiție a lui k_V (V) care garantează acest lucru pentru toate valorile lui V și pentru k arbitrar_arb este

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}} (9)

ceea ce poate fi verificat prin înlocuire în (8).

În cele din urmă, înlocuind (9) în legea lui Gay-Lussac (4) și rearanjând, se obține legea gazelor combinate

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Rețineți că, deși legea lui Boyle nu a fost utilizată în această derivare, aceasta este ușor de dedus din rezultat. În general, oricare două dintre cele trei legi de pornire sunt suficiente în acest tip de derivare - toate perechile de pornire conduc la aceeași lege combinată a gazelor.

 

Aplicații

Legea combinată a gazelor poate fi utilizată pentru a explica mecanica în cazul în care presiunea, temperatura și volumul sunt afectate. De exemplu: aparatele de aer condiționat, frigiderele și formarea norilor și, de asemenea, se utilizează în mecanica fluidelor și în termodinamică.

 

Pagini conexe

• Legea lui Dalton