Eliminarea gaussiană (

În matematică, eliminarea gaussiană (denumită și reducere de rânduri) este o metodă utilizată pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Este denumită după Carl Friedrich Gauss, un celebru matematician german care a scris despre această metodă, dar nu a inventat-o.

Pentru a efectua eliminarea gaussiană, coeficienții termenilor din sistemul de ecuații liniare sunt utilizați pentru a crea un tip de matrice numit matrice augmentată. Apoi, se utilizează operații elementare pe rând pentru a simplifica matricea. Cele trei tipuri de operații pe rând utilizate sunt:

Tipul 1: Schimbarea unui rând cu un alt rând.

Tipul 2: Înmulțirea unui rând cu un număr diferit de zero.

Tipul 3: Adăugarea sau scăderea unui rând dintr-un alt rând.

Scopul eliminării gaussiene este de a obține matricea în forma de ecou de rânduri. Dacă o matrice are forma de ecou, înseamnă că, dacă se citește de la stânga la dreapta, fiecare rând va începe cu cel puțin un termen zero mai mult decât rândul de deasupra sa. Unele definiții ale eliminării gaussiene spun că rezultatul matricei trebuie să fie în forma redusă de tip "row-echelon". Aceasta înseamnă că matricea este în forma echelon de rânduri și că singurul termen diferit de zero din fiecare rând este 1. Eliminarea gaussiană care creează un rezultat de matrice cu echelon de rânduri redus se numește uneori eliminare Gauss-Jordan.

Exemplu

Să presupunem că obiectivul este de a găsi răspunsurile la acest sistem de ecuații liniare.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

În primul rând, sistemul trebuie să fie transformat într-o matrice augmentată. Într-o matrice augmentată, fiecare ecuație liniară devine un rând. Pe o parte a matricei augmentate, coeficienții fiecărui termen din ecuația liniară devin numere în matrice. Pe cealaltă parte a matricei augmentate se află termenii constanți la care este egală fiecare ecuație liniară. Pentru acest sistem, matricea augmentată este:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Apoi, se pot efectua operații pe rând asupra matricei augmentate pentru a o simplifica. Tabelul de mai jos prezintă procesul de reducere a rândurilor pe sistemul de ecuații și pe matricea augmentată.

Sistem de ecuații	Operațiuni pe rând	Matrice augmentată
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y&&&\;-&&\;z&&&\;=\;&&8&&\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\frac {3}{2}}R_{1}\frac R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\0&2&1&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&&\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matricea are acum forma de echelon de rânduri. Aceasta se mai numește și formă triunghiulară.

Sistem de ecuații	Operațiuni pe rând	Matrice augmentată
2 x + y = 7 1 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&&&\&&&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&&7&&\\&&&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 1 0 7 0 1 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&&\;&&\;&&&&;\;\;&&=\;&&2&&\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\0&0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matricea este acum în forma redusă a echelonului de rânduri. Citirea acestei matrice ne spune că soluțiile acestui sistem de ecuații apar atunci când x = 2, y = 3 și z = -1.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este eliminarea gaussiană?

R: Eliminarea gaussiană este o metodă utilizată în matematică pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare.

Î: După cine este denumită această metodă?

R: Este numită după Carl Friedrich Gauss, un celebru matematician german care a scris despre această metodă, dar nu a inventat-o.

Î: Cum se realizează eliminarea gaussiană?

R: Eliminarea gaussiană se realizează prin utilizarea coeficienților termenilor din sistemul de ecuații liniare pentru a crea o matrice augmentată. Apoi, se utilizează operații elementare pe rând pentru a simplifica matricea.

Î: Care sunt cele trei tipuri de operații pe rând utilizate în eliminarea gaussiană?

R: Cele trei tipuri de operații pe rând utilizate în eliminarea gaussiană sunt: Schimbarea unui rând cu un alt rând, Înmulțirea unui rând cu un număr diferit de zero și Adăugarea sau scăderea unui rând dintr-un alt rând.

Î: Care este scopul eliminării gaussiene?

R: Scopul eliminării gaussiene este de a obține matricea sub forma de ecuație a rândurilor.

Î: Ce este forma row-echelon?

R: Dacă o matrice are forma de ecou, înseamnă că, dacă se citește de la stânga la dreapta, fiecare rând va începe cu cel puțin un termen zero mai mult decât rândul de deasupra sa.

Î: Ce este forma redusă de tip "row-echelon"?

R: Forma de echelon redus înseamnă că matricea este în forma de echelon pe rând și singurul termen diferit de zero din fiecare rând este 1. Eliminarea gaussiană care creează un rezultat de matrice de echelon pe rând redus este uneori numită eliminare Gauss-Jordan.