Inducție matematică | mod special de a demonstra un adevăr matematic

Exemple de dovezi prin inducție

Suma primelor n numere naturale

Demonstrați că pentru toate numerele naturale n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}}n(n+1)}

Dovada:

În primul rând, afirmația poate fi scrisă sub forma:

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} (pentru toate numerele naturale n)

Prin inducție pe n,

În primul rând, pentru n=1:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} ,

deci acest lucru este adevărat.

În continuare, să presupunem că pentru un anumit n=n₀ afirmația este adevărată. Adică,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

Atunci, pentru n=n₀ +1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{{n_{0}}+1}k}k}

poate fi rescrisă sub forma

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

Deoarece 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

Prin urmare, dovada este completă prin inducție.

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon

Inducția matematică este deseori enunțată cu valoarea inițială 0 (și nu 1). De fapt, ea va funcționa la fel de bine cu o varietate de valori de pornire. Iată un exemplu în care valoarea de pornire este 3: "Suma unghiurilor interioare ale unui poligon cu n {\displaystyle n} laturi este ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} grade."

Valoarea inițială de pornire este 3, iar unghiurile interioare ale unui triunghi sunt ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} grade. Să presupunem că unghiurile interioare ale unui poligon cu n {\displaystyle n} laturi sunt ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} grade. Adăugați un triunghi care face ca figura să fie n + 1 {\displaystyle n+1}. cu 180 de grade ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} grade. Deoarece sunt tratate atât cazul de bază, cât și cazul inductiv, demonstrația este acum completă.

Există un număr mare de obiecte matematice pentru care funcționează demonstrațiile prin inducție matematică. Termenul tehnic este "set bine ordonat".

Definiție inductivă

Aceeași idee poate funcționa pentru a defini un set de obiecte, precum și pentru a demonstra afirmații despre acel set de obiecte.

De exemplu, putem defini n {\displaystyle n} vărsta de gradul al treilea după cum urmează:

• Un văr de gradul 1 {\displaystyle 1} de gradul 1 este copilul unui frate al unui părinte.
• Un văr de gradul n + 1 {\displaystyle n+1} st este copilul unui văr de gradul n {\displaystyle n} th al unui părinte.

Există un set de axiome pentru aritmetica numerelor naturale care se bazează pe inducția matematică. Acestea se numesc "Axiomele lui Peano". Simbolurile nedefinite sunt | și =. Axiomele sunt

• | este un număr natural.
• Dacă n {\displaystyle n} este un număr natural, atunci n | {\displaystyle n|} este un număr natural.
• Dacă n | = m | {\displaystyle n|=m|} atunci n = m {\displaystyle n=m} .

Se pot defini apoi operațiile de adunare și înmulțire și așa mai departe prin inducție matematică. De exemplu:

• m + | = m | {\displaystyle m+|=m|}
• m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|}

Pagini conexe

• Dovada matematică
• Dovada prin contradicție