Teorema lui Bayes | arată relația dintre o probabilitate condiționată și forma sa inversă

Ecuația utilizată este:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}.

Unde:

• P(A) este probabilitatea anterioară sau probabilitatea marginală a lui A. Este "anterioară" în sensul că nu ia în considerare nicio informație despre B.
• P(A|B) este probabilitatea condiționată a lui A, având în vedere B. Se mai numește și probabilitate posterioară, deoarece este derivată din (sau depinde de) valoarea specificată a lui B.
• P(B|A) este probabilitatea condiționată a lui B în funcție de A. Se mai numește și probabilitate.
• P(B) este probabilitatea anterioară sau marginală a lui B și acționează ca o constantă de normalizare.

În multe scenarii, P(B) se calculează indirect folosind formula P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A c ) P ( A c ) {\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})} , care afirmă pur și simplu că probabilitatea lui B este suma probabilităților condiționate bazate pe faptul că A a avut loc sau nu.

Un exemplu simplu este următorul: Duminică există o probabilitate de 40% de ploaie. Dacă plouă duminică, există 10% șanse de ploaie luni. Dacă nu a plouat duminică, atunci există o șansă de 80% să plouă luni.

"Ploaia de duminică" este evenimentul A, iar "Ploaia de luni" este evenimentul B.

• P( A ) = 0.40 = Probabilitatea de ploaie duminică.
• P( A` ) = 0.60 = Probabilitatea de a nu ploua duminică.
• P( B | A ) = 0.10 = Probabilitatea de ploaie luni, dacă a plouat duminică.
• P( B` | A ) = 0.90 = Probabilitatea de a nu ploua luni, dacă a plouat duminică.
• P( B | A` ) = 0.80 = Probabilitatea ca luni să plouă, dacă duminică nu a plouat.
• P( B` |A` ) = 0.20 = Probabilitatea de a nu ploua luni, dacă nu a plouat duminică.

Primul lucru pe care îl calculăm în mod normal este probabilitatea ca luni să plouă: Aceasta ar fi suma probabilităților pentru "ploaie duminică și ploaie luni" și "fără ploaie duminică și ploaie luni":

0.40 × 0.10 + 0.60 × 0.80 = 0.52 = 52 % {\displaystyle 0.40\times 0.10+0.60\times 0.80=0.52=52\%} chance

Totuși, dacă ni s-a cerut să calculăm probabilitatea ca duminică să plouă, având în vedere că luni a plouat, atunci intervine teorema lui Bayes. Aceasta ne permite să calculăm probabilitatea unui eveniment anterior, având în vedere rezultatul unui eveniment ulterior.

Ecuația utilizată este:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}.

În cazul nostru, "Ploaia de duminică" este evenimentul A, iar "Ploaia de luni" este evenimentul B.

• P(B|A) = 0.10 = Probabilitatea de ploaie luni, dacă a plouat duminică.
• P(A) = 0.40 = Probabilitatea de ploaie duminică.
• P(B) = 0.52 = Probabilitatea de ploaie luni.

Deci, pentru a calcula probabilitatea ca duminică să fi plouat, având în vedere că luni a plouat, folosim formula:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}.

sau:

P ( A | B ) = 0.10 ∗ 0.40 0.52 = .0769 {\displaystyle P(A|B)={\frac {0.10*0.40}{0.52}}=.0769}

Cu alte cuvinte, dacă a plouat luni, atunci există o șansă de 7,69% să fi plouat duminică.

Pentru a calcula probabilitatea ca duminică să fi plouat, având în vedere că luni a plouat, putem parcurge următorii pași:

• Știm că luni a plouat. Prin urmare, probabilitatea totală este P(B).
• Probabilitatea ca duminică să fi plouat este P(A).
• Probabilitatea ca luni să plouă, având în vedere că a plouat duminică, este P(B|A).
• Probabilitatea ca duminică să plouă și luni să plouă este P(A)*P(B|A).
• Prin urmare, probabilitatea totală de a fi plouat duminică, având în vedere că a plouat luni, este șansa de a ploua duminică și luni împărțită la șansa totală de a fi plouat luni.

Prin urmare,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}.

Un alt mod de a vedea acest lucru, care arată de unde provine teorema lui Bayes, este să luăm în considerare probabilitatea P(AB) că plouă atât duminică, cât și luni. Aceasta poate fi calculată în două moduri diferite, care dau același răspuns pentru P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

În acest sens, teorema lui Bayes este doar un alt mod de a scrie această ecuație.

• Probabilitatea bayesiană
• Rețea Bayesiană