Paradoxurile lui Zeno

În paradoxul lui Ahile și țestoasa, Ahile se întrece cu țestoasa. Ahile îi acordă țestoasei un avans de 100 de metri, de exemplu. Să presupunem că fiecare concurent începe să alerge cu o viteză constantă, unul foarte repede și altul foarte încet. După un timp finit, Ahile va alerga 100 de metri, ajungând astfel la punctul de plecare al broaștei țestoase. În acest timp, țestoasa mai lentă a alergat o distanță mult mai mică. Lui Ahile îi va mai trebui încă ceva timp pentru a parcurge această distanță, timp în care țestoasa va fi avansat mai mult. Lui Ahile îi va lua și mai mult timp pentru a ajunge la acest al treilea punct, în timp ce țestoasa va avansa din nou. Astfel, ori de câte ori Ahile ajunge unde a fost țestoasa, mai are încă mult de mers. Prin urmare, deoarece există un număr infinit de puncte în care Ahile trebuie să ajungă acolo unde a fost deja țestoasa, nu o poate depăși niciodată pe aceasta.

Să presupunem că cineva dorește să ajungă din punctul A în punctul B. Mai întâi, trebuie să se deplaseze la jumătatea distanței. Apoi, trebuie să parcurgă jumătate din drumul rămas. Continuând în acest mod, va rămâne întotdeauna o mică distanță rămasă, iar obiectivul nu va fi niciodată atins. Întotdeauna va exista un alt număr de adăugat într-o serie precum 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Așadar, mișcarea din orice punct A în orice punct diferit B este văzută ca o imposibilitate.

Aici se află deci paradoxul lui Zenon: ambele imagini ale realității nu pot fi adevărate în același timp. Prin urmare, fie: 1. Este ceva în neregulă cu modul în care percepem natura continuă a timpului, 2. În realitate nu există o cantitate discretă sau incrementală de timp, distanță sau poate orice altceva, sau 3. În realitate, nu există o cantitate discretă sau incrementală de timp, distanță sau poate orice altceva. Există o a treia imagine a realității care unifică cele două imagini - cea matematică și cea a bunului simț sau filozofică - pe care nu avem încă instrumentele necesare pentru a o înțelege pe deplin.

Puțini oameni ar paria că țestoasa ar câștiga cursa împotriva unui atlet. Dar, ce este în neregulă cu acest argument?

Pe măsură ce cineva începe să adune termenii din seria 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., se poate observa că suma se apropie din ce în ce mai mult de 1 și nu va depăși niciodată 1. Aristotel (care este sursa pentru o mare parte din ceea ce știm despre Zeno) a observat că, pe măsură ce distanța (în paradoxul dihotomiei) scade, timpul necesar pentru a parcurge fiecare distanță devine extrem de mic și mai mic. Înainte de 212 î.Hr., Arhimede a dezvoltat o metodă pentru a obține un răspuns finit pentru suma a infinit de mulți termeni care devin progresiv mai mici (cum ar fi 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Calculul modern ajunge la același rezultat, folosind metode mai riguroase.

Unii matematicieni, cum ar fi w:Carl Boyer, susțin că paradoxurile lui Zeno sunt pur și simplu probleme matematice, pentru care calculul modern oferă o soluție matematică. Cu toate acestea, întrebările lui Zeno rămân problematice dacă se abordează o serie infinită de pași, pas cu pas. Acest lucru este cunoscut sub numele de supertasking. Calculul nu implică de fapt adunarea numerelor unul câte unul. În schimb, el determină valoarea (numită limită) de care se apropie adunarea.

Vezi articolele din Wikipedia în engleză

• Paradoxurile lui Zeno
• Cuadratura parabolei
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Lampa lui Thompson