Teoremele de incompletitudine ale lui Gödel
Teoremele de incompletitudine ale lui Gödel este numele dat la două teoreme (afirmații matematice adevărate), demonstrate de Kurt Gödel în 1931. Acestea sunt teoreme de logică matematică.
Matematicienii au crezut cândva că tot ceea ce este adevărat are o dovadă matematică. Un sistem care are această proprietate se numește complet; unul care nu o are se numește incomplet. De asemenea, ideile matematice nu ar trebui să aibă contradicții. Acest lucru înseamnă că nu ar trebui să fie adevărate și false în același timp. Un sistem care nu include contradicții se numește coerent. Aceste sisteme se bazează pe seturi de axiome. Axiomele sunt afirmații care sunt acceptate ca fiind adevărate și care nu au nevoie de dovezi.
Gödel a afirmat că orice sistem formal non-trivial (interesant) este fie incomplet, fie inconsistent:
- Întotdeauna vor exista întrebări la care nu se poate răspunde folosind un anumit set de axiome;
- Nu puteți demonstra că un sistem de axiome este consecvent, decât dacă folosiți un set diferit de axiome.
Aceste teoreme sunt importante pentru matematicieni, deoarece demonstrează că este imposibil să se creeze un set de axiome care să explice totul în matematică.
Câteva subiecte conexe
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce sunt teoremele de incompletitudine ale lui Gödel?
R: Teoremele de incompletitudine ale lui Gödel sunt două afirmații matematice adevărate, demonstrate de Kurt Gödel în 1931, în domeniul logicii matematice.
Î: Ce este un sistem complet în matematică?
R: Un sistem complet în matematică este un sistem care are proprietatea că tot ceea ce este adevărat are o dovadă matematică.
Î: Ce este un sistem incomplet în matematică?
R: Un sistem incomplet în matematică este un sistem care nu are proprietatea că tot ceea ce este adevărat are o dovadă matematică.
Î: Ce este un sistem coerent în matematică?
R: Un sistem coerent în matematică este un sistem care nu include contradicții, ceea ce înseamnă că ideile matematice nu ar trebui să fie adevărate și false în același timp.
Î: Ce sunt axiomele în matematică?
R: Axiomele în matematică sunt afirmații care sunt acceptate ca fiind adevărate și nu necesită dovezi.
Î: Ce a afirmat Gödel despre orice sistem formal non-trivial?
R: Gödel a afirmat că orice sistem formal non-trivial este fie incomplet, fie inconsistent.
Î: De ce sunt importante teoremele de incompletitudine ale lui Gödel pentru matematicieni?
R: Teoremele de incompletitudine ale lui Gödel sunt importante pentru matematicieni deoarece demonstrează că este imposibil să se creeze un set de axiome care să explice totul în matematică.
