Problemele lui Hilbert

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 18 iunie 2022

În 1900, matematicianul David Hilbert a publicat o listă cu 23 de probleme matematice nerezolvate. Lista de probleme s-a dovedit a fi foarte influentă. După moartea lui Hilbert, o altă problemă a fost găsită în scrierile sale; aceasta este uneori cunoscută astăzi sub numele de a 24-a problemă a lui Hilbert. Această problemă se referă la găsirea unor criterii care să arate că o soluție la o problemă este cea mai simplă posibilă.

Dintre cele 23 de probleme, trei erau nerezolvate în 2012, trei erau prea vagi pentru a fi rezolvate, iar șase puteau fi rezolvate parțial. Având în vedere influența problemelor, Institutul de Matematică Clay a formulat în anul 2000 o listă similară, numită Problemele Premiului Mileniului.

Rezumat

Formularea anumitor probleme este mai bună decât cea a altora. Dintre problemele Hilbert cu o formulare clară, problemele 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 și 21 au o rezolvare acceptată prin consens. Pe de altă parte, problemele 1, 2, 5, 9, 15, 18⁺ , și 22 au soluții care au o acceptare parțială, dar există o anumită controversă cu privire la faptul dacă aceasta rezolvă problema.

Soluția pentru problema 18, conjectura Kepler, utilizează o demonstrație asistată de calculator. Acest lucru este controversat, deoarece un cititor uman nu este capabil să verifice demonstrația într-un timp rezonabil.

Rămân 16, 8 (ipoteza Riemann) și 12 nerezolvate. În această clasificare, 4, 16 și 23 sunt prea vagi pentru a fi descrise vreodată ca fiind rezolvate. Retrasul 24 ar fi, de asemenea, în această clasă. 6 este considerat o problemă de fizică mai degrabă decât de matematică.

Tabelul de probleme

Cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert sunt:

Problema	Scurtă explicație	Stare	Anul Rezolvat
1.	Ipoteza continuumului (adică nu există un ansamblu a cărui cardinalitate să fie strict între cea a numerelor întregi și cea a numerelor reale)	Se dovedește a fi imposibil de demonstrat sau infirmat în cadrul teoriei seturilor Zermelo-Fraenkel cu sau fără axioma alegerii (cu condiția ca teoria seturilor Zermelo-Fraenkel cu sau fără axioma alegerii să fie consecventă, adică să nu conțină două teoreme astfel încât una să fie negația celeilalte). Nu există un consens cu privire la faptul că aceasta este o soluție la problemă.	1963
2.	Demonstrați că axiomele aritmeticii sunt coerente.	Nu există un consens cu privire la faptul că rezultatele lui Gödel și Gentzen oferă o soluție la problema enunțată de Hilbert. A doua teoremă de incompletitudine a lui Gödel, demonstrată în 1931, arată că nicio dovadă a consistenței sale nu poate fi realizată în cadrul aritmeticii însăși. Demonstrația de consistență a lui Gentzen (1936) arată că consistența aritmeticii rezultă din caracterul bine întemeiat al ordinalei ε₀ .	1936?
3.	Date două poliedre de volum egal, este întotdeauna posibil să se taie prima în un număr finit de bucăți poliedrice care pot fi reasamblate pentru a obține a doua?	Rezolvat. Rezultat: nu, dovedit cu ajutorul invarianților Dehn.	1900
4.	Construiți toate metricile în care liniile sunt geodezice.	Prea vagi pentru a fi declarat rezolvat sau nu.	-
5.	Sunt grupurile continue grupuri diferențiale în mod automat?	Rezolvat de Andrew Gleason sau Hidehiko Yamabe, în funcție de modul în care este interpretată declarația originală. Cu toate acestea, dacă este înțeleasă ca un echivalent al conjecturei Hilbert-Smith, este încă nerezolvată.	1953?
6.	Axiomatizați toată fizica	Parțial rezolvată.	-
7	Este a ^btranscendentală, pentru algebrică a ≠ 0,1 și algebrică irațională b ?	Rezolvat. Rezultat: da, ilustrat prin teorema lui Gelfond sau teorema Gelfond-Schneider.	1934
8.	Ipoteza Riemann ("partea reală a oricărui zero ne-trivial al funcției zeta Riemann este ½") și alte probleme legate de numerele prime, printre care conjectura lui Goldbach și conjectura numerelor prime gemene.	Nerezolvat.	-
A 9-a	Găsiți cea mai generală lege a teoremei de reciprocitate în orice câmp algebric de numere	Parțial rezolvată.	-
Al 10-lea	Găsiți un algoritm pentru a determina dacă o ecuație polinomială diofantină dată cu coeficienți întregi are o soluție întreagă.	Rezolvat. Rezultat: imposibil, teorema lui Matiyasevich implică faptul că nu există un astfel de algoritm.	1970
Al 11-lea	Rezolvarea formelor pătratice cu coeficienți numerici algebrici.	Parțial rezolvată. ^[]	-
12.	Extindeți teorema Kronecker-Weber privind extensiile abeliene ale numerelor raționale la orice câmp numeric de bază.	Parțial rezolvată prin teoria câmpurilor de clasă, deși soluția nu este la fel de explicită ca teorema Kronecker-Weber.	-
13.	Rezolvarea ecuațiilor de gradul 7 folosind funcții continue de doi parametri.	Nerezolvat. Problema a fost parțial rezolvată de Vladimir Arnold, pe baza lucrărilor lui Andrey Kolmogorov.	1957
al 14-lea	Este inelul de invarianți al unui grup algebric care acționează pe un inel polinomial întotdeauna finit generat?	Rezolvat. Rezultat: nu, contraexemplul a fost construit de Masayoshi Nagata.	1959
15.	Fundamentarea riguroasă a calculului enumerativ al lui Schubert.	Parțial rezolvată. ^[]	-
16.	Descrieți pozițiile relative ale ovalurilor care au originea într-o curbă algebrică reală și ca cicluri limită ale unui câmp vectorial polinomial în plan.	Nerezolvat.	-
17	Exprimarea funcției raționale definite ca un coeficient de sume de pătrate	Rezolvat de Emil Artin și Charles Delzell. Rezultatul: A fost stabilită o limită superioară pentru numărul de termeni pătrați necesari. Găsirea unei limite inferioare este încă o problemă deschisă.	1927
al 18-lea	(a) Există vreun poliedru care să admită doar o faianță anizoedrică în trei dimensiuni? (b) Care este cea mai densă împachetare a sferelor?	(a) S-a hotărât. Rezultat: da (de Karl Reinhardt). (b) Rezolvat de Thomas Callister Hales, utilizând dovada asistată de calculator. Rezultat: împachetare strânsă cubică și împachetare strânsă hexagonală, ambele cu o densitate de aproximativ 74%.	(a) 1928 (b) 1998
19	Sunt soluțiile Lagranganelor întotdeauna analitice?	Rezolvat. Rezultat: da, dovedit de Ennio de Giorgi și, independent și folosind metode diferite, de John Forbes Nash.	1957
20	Toate problemele variaționale cu anumite condiții la limită au soluții?	Rezolvat. Un subiect important de cercetare pe tot parcursul secolului XX, care a culminat cu soluțiile^[] pentru cazul neliniar.	-
21	Dovada existenței ecuațiilor diferențiale liniare cu grup monodromic prescris	Rezolvat. Rezultat: Da sau nu, în funcție de formulări mai exacte ale problemei. ^[]	-
22	Uniformizarea relațiilor analitice prin intermediul funcțiilor automorfe	Rezolvat. ^[]	-
23	Dezvoltarea ulterioară a calculului variațiilor	Nerezolvat.	-

Întrebări și răspunsuri

Î: Cine a publicat în 1900 o listă de 23 de probleme matematice nerezolvate?

R: David Hilbert a publicat o listă de 23 de probleme matematice nerezolvate în 1900.

Î: Cea de-a 24-a problemă a lui Hilbert făcea parte din lista originală?

R: Nu, a 24-a problemă a lui Hilbert a fost găsită în scrierile lui Hilbert după moartea acestuia.

Î: Despre ce este vorba în cea de-a 24-a problemă a lui Hilbert?

R: Cea de-a 24-a problemă a lui Hilbert se referă la găsirea unor criterii care să arate că o soluție la o problemă este cea mai simplă posibilă.

Î: Au fost toate cele 23 de probleme de pe lista lui Hilbert rezolvate până în 2012?

R: Nu, trei dintre cele 23 de probleme de pe lista lui Hilbert erau nerezolvate în 2012.

Î: A fost vreuna dintre problemele de pe lista lui Hilbert prea vagă pentru a fi rezolvată?

R: Da, trei dintre problemele de pe lista lui Hilbert au fost prea vagi pentru a fi rezolvate.

Î: Câte dintre problemele de pe lista lui Hilbert puteau fi rezolvate parțial?

R: Șase dintre problemele de pe lista lui Hilbert puteau fi rezolvate parțial.

Î: A creat Institutul de Matematică Clay o listă similară cu problemele lui Hilbert?

R: Da, Institutul de Matematică Clay a creat o listă similară, numită "Problemele Premiului Mileniului", în anul 2000.