Ipoteza Riemann | întrebare matematică

Ce este funcția zeta Riemann?

Funcția zeta Riemann este un tip de funcție. În matematică, funcțiile sunt lucruri asemănătoare ecuațiilor. Funcțiile primesc numere și dau înapoi alte numere. Este ca și cum primești un răspuns atunci când pui o întrebare. Numărul pe care îl introduceți se numește "intrare". Numărul pe care îl primiți înapoi se numește "valoare". Fiecare intrare pe care o introduceți în funcția Riemann zeta vă oferă o valoare specială. De cele mai multe ori, veți obține o valoare diferită pentru fiecare intrare. Dar fiecare intrare vă oferă aceeași valoare de fiecare dată când o utilizați. Atât intrarea pe care o dați, cât și valoarea pe care o primiți de la funcția Riemann zeta sunt numere speciale numite numere complexe. Un număr complex este un număr cu două părți, o parte reală și o parte imaginară. Partea imaginară se numește imaginară pentru că ar trebui să vă "imaginați" un astfel de număr ca i {\displaystyle i} care, înmulțit cu el însuși, este egal cu i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} . Deoarece, pe baza regulilor aritmeticii ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} și ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} un astfel de număr nu ar putea exista, acesta ar trebui să fie imaginat. Numerele imaginare au o utilizare vastă în matematică; fără ele, o mulțime de tehnologii nu ar fi posibile. Ca un exemplu concret, pentru a utiliza formula pătratică pentru a rezolva anumite ecuații, răspunsul trebuie să fie uneori un număr imaginar, iar din punct de vedere istoric acesta a fost motivul pentru care au fost inventate numerele imaginare în primul rând.

Ce este o rădăcină non-trivială?

Uneori, atunci când introduceți o intrare în funcția zeta Riemann, primiți înapoi numărul zero. Când se întâmplă acest lucru, se numește acea intrare o rădăcină a funcției Riemann zeta. Se numește "rădăcină" atunci când se obține zero. Au fost găsite o mulțime de rădăcini. Dar unele rădăcini sunt mai ușor de găsit decât altele. Numim rădăcinile "triviale" sau "netriviale". Numim o rădăcină "trivială" dacă este ușor de găsit. Dar numim o rădăcină "netrivială" dacă este greu de găsit. Rădăcinile triviale sunt numere numite "numere întregi pare negative". Motivul pentru care credem că sunt ușoare este că sunt ușor de găsit. Există reguli clare care spun care sunt rădăcinile triviale. Știm care sunt rădăcinile triviale datorită ecuației date de Bernhard Riemann. Această ecuație a fost numită "ecuația funcțională a lui Riemann".

Cum găsim rădăcini non-triviale?

Rădăcinile non-triviale sunt mai greu de găsit. Ele nu au aceleași reguli clare care să spună ce sunt. Chiar dacă sunt greu de găsit, au fost descoperite multe rădăcini netriviale. Amintiți-vă că valoarea funcției zeta Riemann a fost un tip de număr numit număr complex. Și amintiți-vă că numerele complexe au două părți. Una dintre aceste părți se numește "partea reală". Am observat un lucru interesant în legătură cu partea reală a rădăcinilor netriviale. Toate rădăcinile netriviale pe care le-am găsit au o parte reală care este același număr. Acest număr este 1/2, care este o fracție. Acest lucru ne conduce la marea întrebare a lui Riemann, care se referă la cât de mari sunt părțile reale. Întrebarea este "au toate rădăcinile netriviale partea reală 1/2?", iar ipoteza spune că răspunsul este da. Noi încă încercăm să aflăm dacă răspunsul este "da" sau "nu".

Nu știm încă răspunsul la această întrebare. Dar cunoaștem câteva fapte bune. Aceste fapte ne-ar putea ajuta. Există o modalitate prin care putem afla date despre părțile reale ale rădăcinilor netriviale. Aceasta este cu ajutorul ecuației speciale a lui Riemann (ecuația funcțională a lui Riemann). Ecuația funcțională a lui Riemann ne vorbește despre mărimea părților reale. Ea spune că toate zerourile netriviale au o parte reală apropiată de 1/2. Aceasta spune cât de mici pot fi părțile reale și cât de mari pot fi. Dar nu spune exact care sunt acestea. Mai exact, se spune că părțile reale trebuie să fie mai mari decât 0. Dar trebuie să fie mai mici decât 1. Dar tot nu știm dacă ar putea exista o rădăcină non-trivială cu o parte reală foarte apropiată de 1/2. Poate că există, dar noi nu am găsit-o încă. Grupul de numere complexe care au partea reală mai mare decât 0, dar mai mică decât 1 se numește "banda critică".

Imaginea din colțul din dreapta sus al acestei pagini arată funcția zeta Riemann. Rădăcinile netriviale sunt reprezentate cu puncte albe. Ele par a fi toate într-o linie chiar în mijlocul imaginii. Ele nu sunt nici prea departe în stânga și nici prea departe în dreapta. Partea reală este cât de departe de stânga la dreapta ești. Faptul că sunt în mijlocul imaginii înseamnă că au o parte reală de 1/2. Așadar, toate rădăcinile ne-triviale din imagine au partea reală de 1/2. Dar imaginea noastră nu arată totul, deoarece funcția zeta Riemann este prea mare pentru a fi prezentată. Ce se întâmplă cu rădăcinile ne-triviale de deasupra și de sub imagine? Ar fi și ele în mijloc? Ce se întâmplă dacă acestea încalcă modelul de a fi în mijloc? Ele ar putea fi ușor la stânga sau la dreapta. Ipoteza Riemann întreabă dacă fiecare rădăcină non-trivială (punct alb) s-ar afla pe linia din mijloc. Dacă răspunsul este negativ, spunem că "ipoteza este falsă". Acest lucru ar însemna că există puncte albe care nu se află pe linia dată.