Hypercube
În geometrie, un hipercub este un analog n-dimensional al pătratului (n = 2) și al cubului (n = 3). Este o figură închisă, compactă, convexă, al cărei schelet 1 este format din grupuri de segmente de dreaptă paralele opuse, aliniate în fiecare dimensiune a spațiului, perpendiculare între ele și de aceeași lungime. Cea mai lungă diagonală a unui hipercub unitar în n dimensiuni este egală cu n {displaystyle {\sqrt {n}}} 
.
Un hipercub n-dimensional se mai numește și n-cub sau cub n-dimensional. Termenul de "politrop de măsură" este de asemenea utilizat, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter (originar din Elte, 1912), dar în prezent a fost depășit.
Hipercubul este cazul special al hiperrectanglului (numit și n-ortotip).
Un hipercub unitar este un hipercub a cărui latură are lungimea de o unitate. Adesea, hipercubul ale cărui colțuri (sau vârfuri) sunt cele 2npuncte din R ncu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 se numește "hipercubul unitar".
Construcții
Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni ale unei forme:
0 - Un punct este un hipercub de dimensiune zero.
1 - Dacă se deplasează acest punct pe o lungime de o unitate, el va mătura un segment de dreaptă, care este un hipercub unitar de dimensiune unu.
2 - Dacă se deplasează acest segment de dreaptă pe lungimea sa în direcție perpendiculară față de el însuși; el mătură un pătrat bidimensional.
3 - Dacă se deplasează pătratul cu o unitate de lungime în direcția perpendiculară la planul pe care se află, se va genera un cub tridimensional.
4 - Dacă se mută cubul cu o unitate de lungime în a patra dimensiune, se generează un hipercub unitar cu 4 dimensiuni (un teseract unitar).
Acest lucru poate fi generalizat la orice număr de dimensiuni. Acest proces de măturare a volumelor poate fi formalizat matematic sub forma unei sume Minkowski: hipercubul cu d dimensiuni este suma Minkowski a d segmente de dreaptă de lungime unitară reciproc perpendiculare și, prin urmare, este un exemplu de zonotop.
Scheletul 1 al unui hipercub este un graf de hipercub.
O diagramă care arată cum se creează un teseract dintr-un punct.
O animație care arată cum se creează un teseract dintr-un punct.
Pagini conexe
- Simplex - analogul n-dimensional al triunghiului
- Hiperrectunghi - cazul general al hipercubului, în care baza este un dreptunghi.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este un hipercub?
R: Un hipercub este un analog n-dimensional al unui pătrat (n = 2) și al unui cub (n = 3). Este o figură închisă, compactă, convexă, al cărei schelet 1 este format din grupuri de segmente de dreaptă paralele opuse, aliniate în fiecare dimensiune a spațiului, perpendiculare între ele și de aceeași lungime.
Î: Care este cea mai lungă diagonală a unui hipercub cu n dimensiuni?
R: Cea mai lungă diagonală a unui hipercub cu n dimensiuni este egală cu n {\displaystyle {\sqrt {n}}}.
Î: Există un alt termen pentru un hipercub n-dimensional?
R: Un hipercub n-dimensional se mai numește și n-cub sau cub n-dimensional. A fost utilizat și termenul "politrop de măsură", dar acesta a fost înlocuit.
Î: Ce înseamnă "hipercub unitar"?
R: Un hipercub unitar este un hipercub a cărui latură are lungimea de o unitate. Adesea, hipercubul unitar se referă la cazul specific în care toate colțurile au coordonatele egale cu 0 sau 1.
Î: Cum putem defini un "hiperrectunghi"?
R: Un hiperrectunghi (denumit și n-ortotip) este definit ca fiind cazul general al unui hipercub.
