Legea numerelor mari

Autor: Leandro Alegsa

07-12-2021

Legea numerelor mari (LLN) este o teoremă din statistică. Luați în considerare un proces în care apar rezultate aleatorii. De exemplu, o variabilă aleatoare este observată în mod repetat. Atunci, media valorilor observate va fi stabilă, pe termen lung. Aceasta înseamnă că, pe termen lung, media valorilor observate se va apropia tot mai mult de valoarea așteptată.

Atunci când arunci un zar, numerele 1, 2, 3, 4, 5 și 6 sunt rezultate posibile. Toate sunt la fel de probabile. Media populației (sau "valoarea așteptată") a rezultatelor este:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Graficul următor prezintă rezultatele unui experiment de aruncare a unui zar. În cadrul acestui experiment se poate observa că media aruncărilor de zaruri variază foarte mult la început. Așa cum prezice LLN, media se stabilizează în jurul valorii așteptate de 3,5 pe măsură ce numărul de observații devine mare.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Istoric

Jacob Bernoulli a descris pentru prima dată LLN. El spune că era atât de simplu încât chiar și cel mai prost om știe instinctiv că este adevărat. În ciuda acestui fapt, i-a luat peste 20 de ani pentru a dezvolta o dovadă matematică bună. După ce a găsit-o, a publicat demonstrația în Ars Conjectandi (Arta de a face presupuneri) în 1713. A numit-o "Teorema de aur". Aceasta a devenit cunoscută în general sub numele de "Teorema lui Bernoulli" (a nu se confunda cu legea cu același nume din fizică). În 1835, S.D.Poisson a descris-o mai departe sub numele de "La loi des grands nombres" (Legea numerelor mari). Ulterior, a fost cunoscută sub ambele denumiri, dar "Legea numerelor mari" este cea mai frecvent utilizată.

Și alți matematicieni au contribuit la îmbunătățirea legii. Unii dintre ei au fost Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli și Kolmogorov. În urma acestor studii, există acum două forme diferite ale legii: Una se numește legea "slabă" și cealaltă legea "puternică". Aceste forme nu descriu legi diferite. Ele au moduri diferite de a descrie convergența probabilității observate sau măsurate către probabilitatea reală. Forma puternică a legii o implică pe cea slabă.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este legea numerelor mari?

R: Legea numerelor mari este o teoremă statistică care afirmă că, dacă un proces aleatoriu este observat în mod repetat, atunci media valorilor observate va fi stabilă pe termen lung.

Î: Ce înseamnă legea numerelor mari?

R: Legea numerelor mari înseamnă că, pe măsură ce numărul de observații crește, media valorilor observate se va apropia din ce în ce mai mult de valoarea așteptată.

Î: Ce este o valoare așteptată?

R: O valoare așteptată este media populației a rezultatelor unui proces aleatoriu.

Î: Care este valoarea așteptată a aruncării unui zar?

R: Valoarea așteptată a aruncării unui zar este suma rezultatelor posibile împărțită la numărul de rezultate: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

Î: Ce arată graficul din text în legătură cu legea numerelor mari?

R: Graficul arată că media aruncărilor de zaruri variază foarte mult la început, dar, așa cum prezice legea numerelor mari, media se stabilizează în jurul valorii așteptate de 3,5 pe măsură ce numărul de observații devine mare.

Î: Cum se aplică legea numerelor mari la aruncarea zarurilor?

R: Legea numerelor mari se aplică la aruncarea zarurilor, deoarece, pe măsură ce numărul de aruncări crește, media aruncărilor se va apropia din ce în ce mai mult de valoarea așteptată de 3,5.

Î: De ce este importantă legea numerelor mari în statistică?

R: Legea numerelor mari este importantă în statistică, deoarece oferă o bază teoretică pentru ideea că datele tind să ajungă la o medie pe un număr mare de observații. Ea reprezintă fundamentul pentru multe metode statistice, cum ar fi intervalele de încredere și testarea ipotezelor.