Teorema sinusurilor

Regula sinusoidală sau legea sinusurilor este o teoremă în matematică. Ea spune că, dacă aveți un triunghi ca cel din imagine, ecuația de mai jos este adevărată.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Aceasta este o altă versiune, care este, de asemenea, adevărată.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}}\! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D este egal cu diametrul circumferinței triunghiului.

Legea sinusurilor este utilizată pentru a găsi laturile rămase ale unui triunghi atunci când se cunosc două unghiuri și o latură. Acest lucru este cunoscut sub numele de triangulație. Cu toate acestea, acest calcul poate avea o eroare numerică în cazul în care un unghi este apropiat de 90 de grade. Legea sinusurilor poate fi utilizată și atunci când se cunosc două laturi și unul dintre unghiurile care nu sunt cuprinse între cele două laturi. În unele astfel de cazuri, formula oferă două valori posibile pentru unghiul închis. Acesta se numește caz ambiguu.

Legea sinusurilor este una dintre cele două ecuații trigonometrice folosite pentru a găsi lungimi și unghiuri în triunghiurile scalene. Cealaltă este legea cosinusurilor.

Un triunghi etichetat cu literele necesare pentru această explicație. A, B și C sunt unghiurile. a este latura opusă lui A . b este latura opusă lui B . c este latura opusă lui C.Zoom
Un triunghi etichetat cu literele necesare pentru această explicație. A, B și C sunt unghiurile. a este latura opusă lui A . b este latura opusă lui B . c este latura opusă lui C.

Dovada

Suprafața T {\displaystyle T}{\displaystyle T} a oricărui triunghi poate fi scrisă ca jumătate din baza sa înmulțită cu înălțimea sa (trasată de la un vârf care nu se află pe bază). În funcție de care parte se alege ca bază, aria poate fi dată de formula

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}

Înmulțind acestea cu 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} {\displaystyle 2/abc}rezultă

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}\,. } {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o lege albastră?


R: Legea sinusoidală, cunoscută și sub numele de legea sinusului, este o teoremă matematică care spune că, dacă ai un triunghi ca cel din imagine, ecuația este adevărată.

Î: Ce spune această ecuație?


R: Această ecuație spune că raportul dintre lungimea fiecărei laturi și sinusul colțului opus este egal.

Î: Cum se utilizează?


R: Legea sinusoidală poate fi folosită pentru a găsi laturile rămase ale unui triunghi atunci când cunoașteți două unghiuri și o latură. Se poate folosi și atunci când se cunosc două laturi și un unghi pe care cele două laturi nu îl cuprind.

Î: Ce se întâmplă în cazul ambiguu?


R: În unele cazuri, formula oferă două valori posibile pentru unghiul inclus. Acesta se numește caz ambiguu.

Î: Cum se compară cu alte ecuații trigonometrice?


R: Legea sinusurilor este una dintre cele două ecuații trigonometrice folosite pentru a găsi lungimi și unghiuri în triunghiurile scalene. Cealaltă este legea cosinusurilor.

Î: Care este valoarea lui D? R: D este egal cu diametrul perimetrului unui triunghi.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3