Conjectura lui Poincaré este o întrebare despre sfere în matematică. Este numită după Henri Poincaré, matematicianul și fizicianul francez care a formulat-o în 1904.
Sfera (numită și sfera 2, deoarece este o suprafață bidimensională, deși de obicei este văzută ca fiind în interiorul unui spațiu tridimensional) are proprietatea că orice buclă de pe ea poate fi contractată până la un punct (dacă se înfășoară o bandă de cauciuc în jurul sferei, este posibilă alunecarea acesteia până la un punct). Matematicienii spun că sfera 2 este pur și simplu conectată. Alte spații nu au această proprietate, de exemplu gogoașa: o bandă de cauciuc care înconjoară o dată întreaga gogoașă nu poate fi glisată până într-un punct fără ca aceasta să părăsească suprafața.
Matematicienii știau că această proprietate este unică pentru 2-sferă, în sensul că orice alt spațiu simplu conectat care nu are muchii și este suficient de mic (în termeni matematicieni, adică compact) este de fapt 2-sfera. Totuși, acest lucru nu mai este adevărat dacă eliminăm ideea de micime, deoarece un plan infinit de mare este, de asemenea, simplu conectat. De asemenea, un disc regulat (un cerc și interiorul său) este simplu conectat, dar are o muchie (cercul delimitator).
Conjectura se întreabă dacă același lucru este valabil și în cazul sferei 3, care este un obiect care trăiește în mod natural în patru dimensiuni. Această întrebare a motivat o mare parte a matematicii moderne, în special în domeniul topologiei. Întrebarea a fost în cele din urmă rezolvată în 2002 de Grigori Perelman, un matematician rus, cu metode din geometrie, demonstrând că este într-adevăr adevărată. Pentru munca sa, a primit o medalie Fields și Premiul Mileniului în valoare de 1 milion de dolari, pe care le-a refuzat.
Conjectura lui Poincaré poate fi extinsă și la dimensiuni mai mari: aceasta este conjectura generalizată a lui Poincaré. În mod surprinzător, a fost mai ușor să se demonstreze acest fapt pentru sferele cu dimensiuni mai mari: în 1960, Smale a demonstrat că este adevărat pentru sferele de 5, 6 și mai mari. În 1982, Freedman a demonstrat că este adevărat și pentru sfera 4, fapt pentru care a primit medalia Fields.