Numărul m este un număr pătrat dacă și numai dacă se poate compune un pătrat din m pătrate egale (mai mici):
| m = 12 = 1 | 
|
| m = 22 = 4 | 
|
| m = 32 = 9 | 
|
| m = 42 = 16 | 
|
| m = 52 = 25 | 
|
| Notă: Spațiile albe dintre pătrate servesc doar pentru a îmbunătăți percepția vizuală.
Nu trebuie să existe spații libere între pătratele reale. |
Un pătrat cu latura de lungime n are aria n2 .
Expresia celui de-al n-lea număr pătrat este n2 . Acesta este egal cu suma primelor n numere impare, după cum se poate observa în imaginile de mai sus, unde un pătrat rezultă din cel precedent prin adăugarea unui număr impar de puncte (ilustrat în culoarea magenta). Formula este următoarea:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Astfel, de exemplu, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 9.
Un număr pătrat se poate termina numai cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9 sau 25 în baza 10, după cum urmează:
- Dacă ultima cifră a unui număr este 0, pătratul acestuia se termină cu un număr par de 0 (deci cel puțin 00), iar cifrele care preced 0-urile finale trebuie să formeze, de asemenea, un pătrat.
- Dacă ultima cifră a unui număr este 1 sau 9, pătratul său se termină cu 1, iar numărul format din cifrele precedente trebuie să fie divizibil cu patru.
- Dacă ultima cifră a unui număr este 2 sau 8, pătratul acestuia se termină cu 4, iar cifra precedentă trebuie să fie pară.
- Dacă ultima cifră a unui număr este 3 sau 7, pătratul său se termină în 9, iar numărul format din cifrele precedente trebuie să fie divizibil cu patru.
- Dacă ultima cifră a unui număr este 4 sau 6, pătratul acestuia se termină cu 6, iar cifra precedentă trebuie să fie impară.
- Dacă ultima cifră a unui număr este 5, pătratul acestuia se termină cu 25, iar cifrele precedente trebuie să fie 0, 2, 06 sau 56.
Un număr pătrat nu poate fi un număr perfect.
Toate puterile a patra, a șasea, a opta și așa mai departe sunt pătrate perfecte.
