Pătrat perfect

Un număr pătrat, numit uneori și pătrat perfect, este rezultatul înmulțirii unui număr întreg cu el însuși. 1, 4, 9, 16 și 25 sunt primele cinci numere pătrate. Într-o formulă, pătratul unui număr n se notează $n 2$ (exponențializare), pronunțat de obicei "n la pătrat". Denumirea de număr pătrat provine de la numele formei; a se vedea mai jos.

Numerele pătrate nu sunt negative. Un alt mod de a spune că un număr (nenegativ) este un număr pătrat este că rădăcina sa pătrată este din nou un număr întreg. De exemplu, √9 = 3, deci 9 este un număr pătrat.

Exemple

Pătratele (secvența A000290 în OEIS) mai mici de 70² sunt:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Există o infinitate de numere pătrate, la fel ca și o infinitate de numere naturale.

Proprietăți

Numărul m este un număr pătrat dacă și numai dacă se poate compune un pătrat din m pătrate egale (mai mici):

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Notă: Spațiile albe dintre pătrate servesc doar pentru a îmbunătăți percepția vizuală. Nu trebuie să existe spații libere între pătratele reale.

Un pătrat cu latura de lungime n are aria $n 2$ .

Expresia celui de-al n-lea număr pătrat este n² . Acesta este egal cu suma primelor n numere impare, după cum se poate observa în imaginile de mai sus, unde un pătrat rezultă din cel precedent prin adăugarea unui număr impar de puncte (ilustrat în culoarea magenta). Formula este următoarea:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Astfel, de exemplu, $52 =25= 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 9.$

Un număr pătrat se poate termina numai cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9 sau 25 în baza 10, după cum urmează:

Dacă ultima cifră a unui număr este 0, pătratul acestuia se termină cu un număr par de 0 (deci cel puțin 00), iar cifrele care preced 0-urile finale trebuie să formeze, de asemenea, un pătrat.
Dacă ultima cifră a unui număr este 1 sau 9, pătratul său se termină cu 1, iar numărul format din cifrele precedente trebuie să fie divizibil cu patru.
Dacă ultima cifră a unui număr este 2 sau 8, pătratul acestuia se termină cu 4, iar cifra precedentă trebuie să fie pară.
Dacă ultima cifră a unui număr este 3 sau 7, pătratul său se termină în 9, iar numărul format din cifrele precedente trebuie să fie divizibil cu patru.
Dacă ultima cifră a unui număr este 4 sau 6, pătratul acestuia se termină cu 6, iar cifra precedentă trebuie să fie impară.
Dacă ultima cifră a unui număr este 5, pătratul acestuia se termină cu 25, iar cifrele precedente trebuie să fie 0, 2, 06 sau 56.

Un număr pătrat nu poate fi un număr perfect.

Toate puterile a patra, a șasea, a opta și așa mai departe sunt pătrate perfecte.

Cazuri speciale

Dacă numărul este de forma m5 unde m reprezintă cifrele precedente, pătratul său este n25 unde $n = m \times (m + 1)$ și reprezintă cifrele înainte de 25. De exemplu, pătratul lui 65 poate fi calculat prin $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ ceea ce face ca pătratul să fie egal cu 4225.
Dacă un număr este de forma m0, unde m reprezintă cifrele precedente, pătratul său este n00, unde $n = m 2$ . De exemplu, pătratul lui 70 este 4900.
Dacă numărul are două cifre și este de forma 5m unde m reprezintă cifra unităților, pătratul său este AABB unde $AA = 25 + m$ și $BB = m 2$ . Exemplu: Pentru a calcula pătratul lui 57, 25 + 7 = 32 și 7² = 49, ceea ce înseamnă că 57² = 3249.

Numere pătrate pare și impare

Pătratele numerelor pare sunt pare (și, de fapt, divizibile cu 4), deoarece $(2n) 2 = 4n 2$ .

Pătratele numerelor impare sunt impare, deoarece $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Rezultă că rădăcinile pătrate ale numerelor pătrate pare sunt pare, iar rădăcinile pătrate ale numerelor pătrate impare sunt impare.

Deoarece toate numerele pătrate pare sunt divizibile cu 4, numerele pare de forma $4n + 2$ nu sunt numere pătrate.

Deoarece toate numerele pătrate impare sunt de forma $4n + 1,$ numerele impare de forma $4n + 3$ nu sunt numere pătrate.

Pătratele numerelor impare sunt de forma $8n + 1$ , deoarece $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ și $n (n + 1)$ este un număr par.