√2 — Rădăcina pătrată a lui 2: definiție, proprietăți și interpretare geometrică

Rădăcina pătrată a lui 2, sau puterea (1/2)a lui 2, scrisă în matematică ca √2 sau $2 $ ^1⁄₂ , este un număr irațional pozitiv care, înmulțit cu el însuși, este egal cu numărul 2. Pentru a fi mai corect, se numește rădăcina pătrată principală a lui 2, pentru a o deosebi de versiunea negativă a lui însuși, unde acest lucru este, de asemenea, adevărat.

Din punct de vedere geometric, rădăcina pătrată a lui 2 este lungimea diagonalei care traversează un pătrat cu laturile de lungime unu; aceasta poate fi găsită cu ajutorul teoremei lui Pitagora.

Definiție și proprietăți esențiale

Valoarea numerică aproximativă: √2 ≈ 1,4142135623730950488… (zeci de miliarde de cifre se pot calcula, iar dezvoltarea zecimală este infinită și neperiodică).
Ecuația minimă: √2 este o soluție reală a polinomului x² − 2 = 0, deci este un număr algebric de gradul 2 peste Q (corpul numerelor raționale).
Conjugatul: Cealaltă soluție a x² − 2 = 0 este −√2. Rădăcina pozitivă se numește rădăcina pătrată principală.
Iraționalitate: √2 nu poate fi exprimat ca raportul a două numere întregi; dezvoltarea sa zecimală nu se repetă și nu se termină.
Fracție continuă: Dezvoltarea ca fracție continuă este periodică: √2 = [1; 2, 2, 2, …], ceea ce explică foarte bune aproximările raționale eficiente.

Demonstrarea iraționalității (schiță clasică)

O demonstrație elementară prin contradicție: presupunem că √2 = p/q în fracție ireductibilă cu p şi q întregi fără factori comuni. Atunci p² = 2q², deci p² este par, deci p este par. Scriem p = 2k, de unde 4k² = 2q² şi rezultă q² = 2k², deci q este şi el par. Dar asta contrazice ipoteza că p şi q nu au factori comuni (ambele ar fi divizibile cu 2). Concluzia: √2 nu este raţional.

Aplicații, aproximări și legături

Aproximaţii raţionale eficiente: continuând fracţia continuă se obţin convergenţi precum 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, … care sunt foarte bune aproximări ale √2.
Pell și unități: legătura dintre √2 şi ecuaţia diofantină x² − 2y² = ±1 explică apariţia soluţiilor întregi (x, y) → acestea sunt unităţi în inelul Z[√2] şi se obţin din puteri ale elementului fundamental 1 + √2.
Geometrie și măsurători: în geometrie euclidiană √2 apare când calculăm diagonala unui pătrat cu latura 1 (Pitagora). De asemenea apare în trigonometrie şi în proprietăţi ale unor figuri regulate.
Importanţă istorică: descoperirea faptului că √2 este iraţional e atribuită (în surse tradiţionale) şcolii pitagoreice şi a avut consecinţe filosofice și matematice importante, deoarece contrazicea credinţa că toate mărimile sunt raporturi de numere întregi.

Interpretare geometrică detaliată

Dacă construim un pătrat cu laturile de lungime 1, diagonala are lungimea √2. Aplicând teorema lui Pitagora la triunghiul dreptunghic format de două laturi şi diagonala, obţinem 1² + 1² = d² ⇒ d² = 2, deci d = √2 (luând valoarea pozitivă pentru lungime). Această interpretare geometrică este baza multor exemple didactice care ilustrează existenţa unui număr „neperiodic” asociat unei figuri simple.

Observații finale

Rădăcina pătrată a lui 2 este un exemplu clasic şi fundamental în matematică: este simplu de definit, are proprietăţi algebrice şi aritmetice importante (este un număr algebric de gradul 2, dar iraţional), apare frecvent în probleme elementare şi avansate şi constituie un bun punct de plecare pentru introducerea conceptelor de număr iraţional, fracţie continuă şi ecuaţii diofantine.

Rădăcina pătrată a lui 2 este egală cu lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu picioarele de lungime 1.

Dovada că rădăcina pătrată a lui 2 nu este rațională

Numărul 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ nu este rațional. Iată dovada.

Să presupunem că 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ este rațional. Deci, există niște numere a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ astfel încât a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Putem alege a și b astfel încât fie a, fie b să fie impar. Dacă a și b ar fi ambele pare, atunci fracția ar putea fi simplificată (de exemplu, în loc de a scrie 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ , am putea scrie 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Dacă ambele părți ale ecuației se ridică la pătrat, atunci obținem a² / b² = 2 și a² = 2 b² .
Partea dreaptă este 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Acest număr este par. Deci și partea stângă trebuie să fie pară. Deci a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ este par. Dacă un număr impar este ridicat la pătrat, atunci rezultatul va fi un număr impar. Iar dacă un număr par este ridicat la pătrat, rezultatul va fi tot un număr par. Așadar, un {\displaystyle a} este par.
Deoarece a este par, poate fi scris ca: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Se utilizează ecuația de la etapa 3. Se obține 2b² = (2k)²
Se poate folosi o regulă de exponențiere (vezi articolul) - rezultatul este 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. $2b^{2}=4k^{2}$ .
Ambele părți sunt împărțite la 2. Deci b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. $b^{2}=2k^{2}$ . Aceasta înseamnă că b {\displaystyle b} $b$ este par.
În pasul 2, am spus că a este impar sau b este impar. Dar în pasul 4, s-a spus că a este par, iar în pasul 7, s-a spus că b este par. Dacă ipoteza pe care am făcut-o la pasul 1 este adevărată, atunci toate aceste alte lucruri trebuie să fie adevărate, dar, deoarece nu sunt în dezacord între ele, nu pot fi toate adevărate; aceasta înseamnă că ipoteza noastră nu este adevărată.

Nu este adevărat că 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ este un număr rațional. Deci 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ este irațional.