Rădăcină pătrată de 2

Rădăcina pătrată a lui 2, sau puterea (1/2)a lui 2, scrisă în matematică ca √2 sau 2​1⁄2 , este un număr irațional pozitiv care, înmulțit cu el însuși, este egal cu numărul 2. Pentru a fi mai corect, se numește rădăcina pătrată principală a lui 2, pentru a o deosebi de versiunea negativă a lui însuși, unde acest lucru este, de asemenea, adevărat.

Din punct de vedere geometric, rădăcina pătrată a lui 2 este lungimea diagonalei care traversează un pătrat cu laturile de lungime unu; aceasta poate fi găsită cu ajutorul teoremei lui Pitagora.

Rădăcina pătrată a lui 2 este egală cu lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu picioarele de lungime 1.Zoom
Rădăcina pătrată a lui 2 este egală cu lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu picioarele de lungime 1.

Dovada că rădăcina pătrată a lui 2 nu este rațională

Numărul 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} nu este rațional. Iată dovada.

  1. Să presupunem că 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} este rațional. Deci, există niște numere a , b {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} astfel încât a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}{\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
  2. Putem alege a și b astfel încât fie a, fie b să fie impar. Dacă a și b ar fi ambele pare, atunci fracția ar putea fi simplificată (de exemplu, în loc de a scrie 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} {\displaystyle {\frac {2}{4}}}, am putea scrie 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ).
  3. Dacă ambele părți ale ecuației se ridică la pătrat, atunci obținem a2 / b2 = 2 și a2 = 2 b2 .
  4. Partea dreaptă este 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Acest număr este par. Deci și partea stângă trebuie să fie pară. Deci a 2 {\displaystyle a^{2}}{\displaystyle a^{2}} este par. Dacă un număr impar este ridicat la pătrat, atunci rezultatul va fi un număr impar. Iar dacă un număr par este ridicat la pătrat, rezultatul va fi tot un număr par. Așadar, un {\displaystyle a}a este par.
  5. Deoarece a este par, poate fi scris ca: a = 2 k {\displaystyle a=2k}{\displaystyle a=2k} .
  6. Se utilizează ecuația de la etapa 3. Se obține 2b2 = (2k)2
  7. Se poate folosi o regulă de exponențiere (vezi articolul) - rezultatul este 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Ambele părți sunt împărțite la 2. Deci b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Aceasta înseamnă că b {\displaystyle b}{\displaystyle b} este par.
  9. În pasul 2, am spus că a este impar sau b este impar. Dar în pasul 4, s-a spus că a este par, iar în pasul 7, s-a spus că b este par. Dacă ipoteza pe care am făcut-o la pasul 1 este adevărată, atunci toate aceste alte lucruri trebuie să fie adevărate, dar, deoarece nu sunt în dezacord între ele, nu pot fi toate adevărate; aceasta înseamnă că ipoteza noastră nu este adevărată.

Nu este adevărat că 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} este un număr rațional. Deci 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} este irațional.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3